Ruimtelijke figuren > Grensvlakken, ribben
12345678Grensvlakken, ribben

Toepassen

Al in de Oudheid was bekend dat er precies vijf regelmatige lichamen zijn. Dat zijn lichamen waarvan alle ribben en alle vlakken en alle hoeken gelijk zijn. Hier zie je er fraaie animaties van, die zijn gemaakt door Rüdiger Appel. Bekijk zijn website maar eens, je vind er deze figuren onder de naam "Platonic Solids" (dat is Engels voor "Platonische lichamen").
Je ziet hier (van links naar rechts) het tetraëder (regelmatig viervlak), de kubus (hexaëder, of regelmatig zesvlak), het octaëder (regelmatig achtvlak), het dodecaëder (regelmatig twaalfvlak) en het icosaëder (regelmatig twintigvlak).

Als je hun hoekpunten, hun ribben en hun grensvlakken telt, kom je tot:

aantal grensvlakken + aantal hoekpunten = aantal ribben + 2

Is dat toeval? Of kun je het verklaren?
En waarom zijn er niet meer dan vijf?

Opgave 11De formule van Euler
De formule van Euler

Er zijn precies vijf regelmatige ruimtelijke figuren. Dat zijn figuren waarvan alle grensvlakken dezelfde vorm hebben. Je ziet ze hierboven bewegen.

Een bijzondere eigenschap van deze lichamen en van veel veelvlakken (lichamen waarvan de grensvlakken platte vlakken zijn) is de formule van Euler. Je vindt hem onder de figuren.

a

Controleer die formule voor de vijf regelmatige lichamen.

b

Klopt die formule voor een zeszijdig prisma?

c

Klopt die formule voor het Doritosdoosje van opgave 9? En voor de Keplerster van opgave 10? Wat is er voor bijzonders met die lichamen?

d

Laat met een voorbeeld zien dat de formule van Euler nooit kan gelden voor lichamen met gebogen grensvlakken.

e

Geldt de formule van Euler ook voor deze voetbal? De bal is toch rond?

verder | terug