Symmetrie > DriehoekenAntwoorden van de opgaven
De driehoeken `ABC` ( `1` symmetrieas) en `KLM` ( `3` symmetrieassen).
Geen enkele.
Alleen `Δ KLM` met een kleinste draaihoek van `(360^@)/3=120^@` .
De hoeken bij `A` en bij `B` .
Alle drie de hoeken zijn gelijk. Ze zijn daarom elk `(180^@)/3=60^@` .
Welke driehoeken zijn gelijkbenig? Er zijn meerdere antwoorden mogelijk.
`Delta ABC`
`Delta DEF`
`Delta GHI`
`Delta KLM`
Welke driehoek is gelijkzijdig?
`Delta ABC`
`Delta DEF`
`Delta GHI`
`Delta KLM`
"Elke gelijkbenige driehoek is ook gelijkzijdig." Klopt deze uitspraak?
ja
nee
En klopt het omgekeerde?
ja
nee
Welke driehoek is rechthoekig?
`Delta ABC`
`Delta DEF`
`Delta GHI`
`Delta KLM`
Ja, bijvoorbeeld je geodriehoek.
Zie de figuur bij c. Gebruik eventueel roosterpapier.
De hoekensom van een driehoek is `180^@` . De twee gelijke hoeken zijn dus `180^@-30^@=150^@` samen. Elk dus `75^@` .
Zie figuur.
De hoekensom van een driehoek is `180^@` . Elke hoek is dus `60^@` .
De drie hoeken van elke driehoek zijn samen `180^@` , dus `∠ B = 180^@` `- 90^@` `- 70^@` `= 20^@` .
`1/2 * 3 * 6 = 9`
Teken eerst de rechthoekszijden van de rechte hoek `A` . Maak `AB` precies `6` cm. Neem nu `6,5` cm tussen de passer en cirkel dit vanuit `B` om. Punt `C` is het snijpunt van de cirkel met de andere rechthoekszijde.
De drie hoeken van elke driehoek zijn samen `180^@` en beide basishoeken zijn even groot, dus `∠ B = (180-70) / 2 = 55^@` .
Teken eerst de basiszijde `AB=6` cm. Zet je passer op `6` cm en cirkel om vanuit `A` en vanuit `B` . Construeer hiermee de tophoek. Trek vanaf de tophoek de zijden naar de basishoeken.
Bereken eerst de tophoek, die is `40^@` en teken die tophoek. Neem `6` cm tussen de passer en cirkel dit vanuit de tophoek om. Nu is je driehoek zo klaar.
Je kunt dit het gemakkelijkst doen door `A` en `B` op één van de roosterlijnen te leggen en precies op een roosterpunt. `C` is dan geen roosterpunt.
`(360^@)/6 = 60^@`
Een gelijkbenige driehoek.
Zo'n driehoek als
`Delta ABC`
heb je al eerder getekend bij
`Delta KLM` is een gelijkzijdige driehoek. Dat moet wel omdat de driehoeken `AKM` , `KBL` en `MLC` allemaal gelijkzijdige driehoeken zijn met zijden van `3` cm.
Zijden `AB` en `AC` zijn even lang. `Δ ABC` is dus een gelijkbenige driehoek. Tophoek `A` is `90^@` . Dan blijft voor `/_ B + /_ C` ook nog `90^@` over. `/_ B + /_ C` zijn even groot dus allebei `45^@` .
Zijden `DE` , `DF` en `EF` zijn even lang. `Delta DEF` is dus een gelijkzijdige driehoek. Dan zijn alle hoeken ook even groot: `(180^@) / 3 = 60^@`
Zijden `GI` en `HI` zijn even groot. `Delta GHI` is dus een gelijkbenige driehoek. `/_ G` en `/_ H` zijn basishoeken en dus gelijk. `/_ H` is dus ook `70^@` . Dan blijft voor tophoek `/_ I` nog `180^@ - 2 * 70^@ = 40^@` over.
Zijden `KL` en `LM` zijn gelijk. `Delta KLM` is dus een gelijkbenige driehoek. `/_ K` en `/_ M` zijn basishoeken en dus gelijk. `/_ K` is dus ook `78^@` . Dan blijft voor tophoek `/_ L` nog `180^@ - 2 * 78^@ = 24^@` over.
Welke driehoek is gelijkbenig? Er zijn meerdere antwoorden mogelijk.
`Delta ABE`
`Delta BDE`
`Delta BCD`
Welke driehoek is rechthoekig?
`Delta ABE`
`Delta BDE`
`Delta BCD`
Welke driehoek is gelijkzijdig?
`Delta ABE`
`Delta BDE`
`Delta BCD`
`∠ A B E = ∠ BEA` , dus `∠ ABE = (180^@-90^@)/2=45^@` .
`∠ E B D = ∠ BDE` , dus `∠ EBD =(180^@-32^@)/2=74^@` .
De drie hoeken zijn gelijk in een gelijkzijdige driehoek, dus `∠ C B D = 180/3=60^@` .
Dus opgeteld is `∠ A B C = 45^@ + 74^@ + 60^@ =179^@` . Dat is net geen gestrekte hoek van `180^@` .
`/_D = /_A = 37^@`
`/_S_4 = 180^@ - 2*37^@ = 106^@`
`/_S_1 = 180^@ - 106^@ = 74^@`
`/_ E = /_ A = 35^@`
.
`/_ F = 180^@ - 2 * 35^@ = 110^@`
.
`/_ B = 180^@ + (180^@ - 40^@) / 2 = 250^@` .
Maak een eigen schets van de driehoek. De driehoek is gelijkbenig en de beschreven lijn loodrecht op `A B` is de symmetrieas van die driehoek. En daardoor zijn de twee hoeken die bij punt `C` tegen de symmetrieas aan zitten gelijk. De symmetrieas deelt `/_ C` doormidden.
Een gelijkbenige driehoek. Lijnstukken `DM` en `EM` zijn even lang.
`/_ MDE = (180^@ - 45^@)/2 = 67,5^@`
`Delta ABC`
is een rechthoekige driehoek, begin met de benen van
`/_B`
.
Teken daarop zijde
`AC = 5`
cm en zijde
`BC=4`
cm.
Trek als laatste zijde
`BC`
.
`Delta ABC`
is een gelijkzijdige driehoek.
Teken eerst
`AB=5`
cm.
Cirkel nu de andere zijden van
`5`
cm om.
Je krijgt punt
`C`
; teken de twee zijden
`AC`
en
`BC`
.
Dit lukt niet omdat `1 + 3 < 5` . De twee kortste zijden moeten samen minstens zo groot zijn als de langste zijde. Anders kun je de driehoek niet sluitend maken.
Doe dit op dezelfde manier als in
Bij gelijkzijdige driehoeken delen de drie symmetrieassen alle hoeken en alle zijden doormidden. In een gelijkbenige driehoek (die niet ook gelijkzijdig is) is er maar één symmetrieas en wordt er dus ook maar één hoek en ook maar één zijde doormidden gedeeld.
Doen. De bissectrices gaan alledrie door hetzelfde punt.
Doen. De drie zwaartelijnen gaan door hetzelfde punt. Dat heet het zwaartepunt van de driehoek. (Kun je die naam verklaren?)
Doen. Ze gaan inderdaad alle drie door hetzelfde punt.
`∆ ABC` en `∆ KLM`
`∆KLM`
Deze uitspraak klopt niet. Het omgekeerde wel: elke gelijkzijdige driehoek is automatisch ook gelijkbenig.
`∆ DEF`
`45^@`
`angle A=70^@` , `angle D=60^@` en `angle H=110^@` .