Symmetrie > VierhoekenAntwoorden van de opgaven
Zie figuur.
De vierhoeken I, II, III en IV. Zie figuur bij a.
De vierhoeken I ( `90^@` ), II ( `180^@` ), III ( `180^@` ) en IV ( `180^@` ).
De hoeken onder en boven zijn gelijk en de hoeken links en rechts zijn gelijk.
De hoeken linksonder en rechtsboven zijn gelijk en de hoeken rechtsonder en linksboven zijn ook gelijk.
De hoeken onder en boven zijn gelijk.
Vierhoek I: vierkant.
Vierhoek II: ruit.
Vierhoek III: rechthoek.
Vierhoek IV: parallellogram.
Vierhoek V: vlieger.
Het trapezium lijkt te ontbreken. Maar als je weet dat elk parallellogram ook een trapezium is, ontbreekt het trapezium dus niet.
Het omgekeerde klopt niet: een trapezium hoeft geen parallellogram te zijn.
Deze uitspraak klopt. Het omgekeerde niet: een parallellogram hoeft geen ruit te zijn want de zijden hoeven niet alle vier even lang te zijn.
Ja, dat is een vierkant.
Een rechthoek is lijnsymmetrisch met twee symmetrieassen, puntsymmetrisch en draaisymmetrisch met een kleinste draaihoek van `180^@` .
Een vierkant is lijnsymmetrisch met vier symmetrieassen, puntsymmetrisch en draaisymmetrisch met een kleinste draaihoek van `90^@` .
Een vlieger is lijnsymmetrisch met een symmetrieas.
Een ruit is lijnsymmetrisch met twee symmetrieassen, puntsymmetrisch en draaisymmetrisch met een kleinste draaihoek van `180^@` .
Een trapezium is niet altijd symmetrisch.
Een parallellogram is puntsymmetrisch en draaisymmetrisch met een kleinste draaihoek van `180^@` .
Alleen `A` en `B` kun je vrij bewegen. Als die twee punten eenmaal hun plek hebben dan kan `C` alleen nog loodrecht op `A B` bewegen, want de hoek bij `B` moet recht blijven. Als dan `C` zijn plek heeft, dan ligt de plaats van punt `D` vast.
Doordat de rechthoek twee symmetrieassen heeft door de middens van de zijden en door het snijpunt van de diagonalen zijn alle vier de lijnstukken `A S` , `B S` , `C S` en `D S` even lang.
Door punt `C` te verschuiven tot alle vier de zijden even lang zijn.
Twee, bijvoorbeeld de lengte en de breedte. Of de lengte van beide diagonalen en de hoek ertussen. Of de lengte en de lengte van een diagonaal.
Alleen `A` en `B` kun je vrij bewegen. Als die twee punten eenmaal hun plek hebben dan kan `C` alleen nog over de symmetrieas bewegen. Punt `D` kun je nu nog bewegen, maar dan beweegt `B` symmetrisch mee.
In de figuur ligt diagonaal `A C` op de symmetrieas en de punten `B` en `D` elkaars spiegelbeeld. Dus is `A C` de middelloodlijn van `B D` .
Door punt `C` te verschuiven tot alle vier de zijden even lang zijn. Je kunt er inderdaad ook een vierkant van maken, want dat is een ruit met rechte hoeken.
Drie, bijvoorbeeld de lengtes van twee opeenvolgende ongelijke zijden en de hoek tussen die twee zijden.
Twee, bijvoorbeeld de lengte van de zijden en de hoek tussen twee zijden. Of de lengte van beide diagonalen.
Als de lijnstukken `A B` en `B C` vast liggen, dan ligt ook `D` vast als spiegelbeeld van `B` bij puntspiegeling ten opzichte van het midden van `A C` .
Doen. Alle eigenschappen blijven opgaan.
Een ruit heeft gelijke zijden en gelijke hoeken, dan lopen de tegenoverliggende zijden automatisch evenwijdig. Dus het is een parallellogram.
Een rechthoek en vierkant hebben hoeken van `90^@` . Dan lopen de tegenoverliggende zijden automatisch evenwijdig. Dus het zijn parallellogrammen.
Drie, bijvoorbeeld de lengtes van twee opeenvolgende ongelijke zijden en de hoek tussen die twee zijden.
Vier, bijvoorbeeld de lengtes van drie zijden en een hoek tussen twee zijden.
`angle A = 71^@` , `angle B = 142^@` , `angle C =76^@` en `angle A' = 71^@`
Er ontstaat een vlieger met een hoek van `40^@` , een hoek van `100^@` en twee hoeken van `110^@` .
Een parallellogram.
Een strip die diagonaal wordt geplaatst. Je krijgt dan een driehoek met drie gegeven lengtes en die kan niet worden vervormd. Een driehoek is een starre figuur.
De figuur zal altijd twee paar gelijke hoeken hebben. Dus de overliggende hoek is ook `58^@` . Dan blijft voor de andere hoeken `(360 - 2*58)/2 = 122^@` over.
Vierhoek I: ruit, de andere hoeken zijn `110^@` (overstaande hoeken zijn even groot), `70^@` en `70^@` (overstaande hoeken zijn gelijk en de som van de hoeken van een vierhoek is `360^@` ).
Vierhoek II: parallellogram, de andere hoeken zijn `95^@` (overstaande hoeken zijn even groot), `85^@` en `85^@` (overstaande hoeken zijn gelijk en de som van de hoeken van een vierhoek is `360^@` ).
Vierhoek III: vlieger (pijlpuntvlieger), de andere hoeken zijn `230^@` , `45^@` en `45^@` (trek een hulplijn over de symmetrieas. Dan zie je dat er twee driehoeken ontstaan met bekende hoeken van `20^@` en `115^@` . De onbekende hoek is dan `180 - 115 - 20 = 45^@` ).
Trek een lijn vanuit `A` evenwijdig aan de lijn `BC` . Trek een lijn vanuit `C` evenwijdig aan de lijn `AB` . Op het snijpunt van die lijnen ligt `D` . Dat geeft `D(0, 3)` .
Trek lijn `AC` . Dit is de symmetrie-as van vlieger `ABCE` . Trek vanuit `B` een lijn loodrecht op `AC` . `E` ligt op die lijn, op gelijke afstand als `B` van lijn `AC` . Dat geeft `E(text(-)1, 2 )` .
Je kunt op verschillende manieren een trapezium maken, bijvoorbeeld door `P(text(-)2, 3 )` te kiezen. En er zijn nog wel meer punten `P` mogelijk. Andere soorten bijzondere vierhoeken zijn echter niet mogelijk.
Linker figuur: bij het middelpunt zitten allemaal hoeken van `(360^@)//12 =30^@` . Vanwege de draaisymmetrie is elke punt een vlieger met een hoek van `30^@` en een hoek van `90^@` . De hoek met het rondje is dus `(360^@ -(90^@ +30^@ ))//2 = 120^@` .
Rechter figuur: bij het middelpunt zitten allemaal hoeken van `(360^@) //5 =72^@` . De ruiten tegen het middelpunt aan hebben dus de grootste hoeken van `(360^@ - 2*72^@) // 2 = 108^@` . De ruiten die niet tegen het middelpunt aan zitten, hebben de grootste hoeken van `360^@ -2 *108^@ =144^@` en dus zijn de hoeken met de stip gelijk aan `(360^@ - 2*144^@)//2 = 36^@` .
De hoeken in de punten zijn even groot als de hoeken rond het centrum:
`(360^@)/5 = 72^@`
De hoeken tussen de punten zijn twee overige
hoeken van de ruit aan elkaar geplakt. Dat is
`2* (360^@-2*72^@)/2 = 216^@`
.
Bij een achtpuntige ster zijn de hoeken van de punten weer gelijk aan de hoeken rond het centrum: `(360^@)/8 = 45^@` . De hoeken tussen de punten zijn dan weer twee overige hoeken van de ruit aan elkaar geplakt. Dat is `2* (360^@-2*45^@)/2 = 270^@` .
Bij een honderdpuntige ster zijn de hoeken rond het centrum `(360^@)/100 = 3,6^@` . De overige hoeken zijn dan `2*(360^@-2*3,6^@)/2 = 352,8^@` .
De hoeken in de punten zijn gelijk aan de hoeken in het centrum: `(360/n)^@` . De hoeken tussen de punten zijn twee overige hoeken van de ruit aan elkaar geplakt: `(2* (360-2*(360/n))/2)^@` . Dat is eenvoudiger te schrijven als `(360 - 2*(360/n))^@` omdat vermenigvuldigen met `2` en delen door `2` elkaar opheffen.
Bekijk hoe in
Er is een hoek nodig, dus deze gegevens leveren geen eenduidig antwoord op.
Bereken eerst dat `/_E=180^@ - 40^@ = 140^@` .
Teken
`/_ E = 140^@`
en pas op de benen van die hoek
`EF`
en
`EH`
af.
Cirkel vanuit punt
`F`
de zijde
`FG=3`
cm om en cirkel vanuit
`H`
de zijde
`HG = 5`
cm om.
Maak het parallellogram af.
Bedenk dat ook `/_K=40^@` en dat alle zijden `3` cm zijn. Nu kun je de figuur net zo tekenen als bij b.
De donkerblauwe vliegers hebben drie hoeken van `108^@` en één hoek van `36^@` . De oranje sterren hebben vijf hoeken van `36^@` . De andere vijf hoeken van de oranje ster zijn `252^@` .
Vierhoek I is een vlieger met drie hoeken van `45^@` , `45^@` en `230^@` .
Vierhoek II is een ruit met twee hoeken van `110^@` en twee van `70^@` .
Vierhoek III is een parallellogram met twee hoeken van `95^@` en twee van `85^@` .
Vierhoek `ABCB'` is een ruit. `angle A = angle C = 120^@` . `angle B = angle B' = 60^@` .
Vierhoek `DEFE'` is een parallellogram. `angle F = angle D = 146^@` . `angle E = angle E' = 34^@` .
Vierhoek `GHK K'` is een vlieger. `angle G = 72^@` . `angle H = 144^@` . `angle K = angle K' = 72^@` .