Formules omtrek en oppervlakte > Oppervlakte van driehoekenAntwoorden van de opgaven
oppervlakte (driehoek I) `=` oppervlakte (rechthoek) `-` oppervlakte (3 witte halve rechthoeken)
`=7 *6 -1/2*7 *1 -1/2*6 *5 -1/2*6 *1 =20 1/2` cm2
Als je in gedachten een verticale lijn trekt door de top van de driehoek, zie je dat de gehele rechthoek zo in `4` halve rechthoeken wordt opgedeeld, waarvan de linker `2` en de rechter `2` telkens even groot zijn. De oppervlakte van de driehoek is dus de helft van de totale oppervlakte, dus `1/2*7*6=21` cm2.
Omdat één zijde precies samenvalt met een zijde van de rechthoek.
Nee. Om de grootste oppervlakte van een driehoek te krijgen, lijkt het erop dat je in ieder geval één zijde van de driehoek moet laten samenvallen met een zijde van de rechthoek eromheen. Maar dan is de oppervlakte altijd precies de helft van de oppervlakte van de rechthoek (zie bij c).
Ja, dat kan wel. Je kunt de oppervlakte bijna `0` maken. Maak maar eens een driehoek met één hoekpunt in een hoekpunt van de rechthoek en de andere twee met de hoekpunten dicht bij het hoekpunt van de rechthoek dat er precies tegenover ligt. Je krijgt dan een heel smalle driehoek.
In de figuur "zie" je nu wel dat de oppervlakte van de driehoek de helft van de rechthoek is.
(Maar een echt wiskundig bewijs is dat nog niet....)
De oppervlakte van de rechthoek eromheen is `l*b` , dus voor de helft daarvan geldt: `A=1/2*l*b` .
Ja, zo'n verdeling kun je altijd maken, dus de oppervlakte is altijd gelijk aan die van de halve rechthoek.
Maak binnen de rechthoek op zijde `AB` een `DeltaABC` met basis `AB=10` en hoogte `CD=7` . Is er maar één zo'n driehoek mogelijk?
ja
nee
Ja, omdat de basis en de hoogte hetzelfde blijven, heeft elk van die driehoeken inderdaad dezelfde oppervlakte.
oppervlakte (
`DeltaABC`
)
`=35`
De linker en rechter driehoek zijn rechthoekige driehoeken, waarvan je al wist dat
`A=1/2*l*b`
. Controleer dat deze oppervlakten samen inderdaad
`35`
roosterhokjes zijn.
`opp(DeltaABC) = 1/2 * AC * BG = 1/2 * 3 * 4 = 6` roosterhokjes.
`opp(Delta DEF) = 1/2 * DF * EH = 1/2 * 5 * 3 = 7,5` roosterhokjes.
Je kunt het beste vanuit punt `C` op zijde `AB` een hoogtelijn tekenen. Die lijn valt dan namelijk precies op een roosterlijn. Dat maakt het een stuk makkelijker met berekenen.
`1/2 * 5* 4 = 8`
`opp(DeltaABC)=1/2*5 *4 =10`
.
Nee, het maakt niet uit waar je punt
`C`
op de zijde van de groene rechthoek plaatst.
Maak eventueel een eigen schets. De oppervlakte van
`DeltaABC`
krijg je door van een halve rechthoek van
`6`
bij
`4`
een halve rechthoek van
`1`
bij
`4`
af te trekken. En dan kom je weer op een oppervlakte van
`10`
:
`opp(DeltaABC) = opp(DeltaADC) - opp(DeltaBDC) = 1/2 * (5+1)*4 - 1/2 * 1 * 4 = 10`
.
Zet punt `C` in een hoekpunt van de rechthoek. De hoogte en basis blijven hetzelfde, dus de oppervlakte ook. Bij een rechte hoek valt de hoogte van de driehoek samen met zijde `BC` .
`opp(DeltaKLM) =1/2*5 *4,5 =11,25` .
`opp(DeltaABC)=1/2*8 *7 =28` .
Gebruik `opp(driehoek) = 1/2 *b*h` en vul de gegevens in:
| `9` | `=` | `1/2 * 6 * h` | |
| `9` | `=` | `3 * h` | |
| `h` | `=` | `3` |
Je moet dus een driehoek tekenen met een basis van `6` cm en een hoogte van `3` cm. Er zijn in principe oneindig veel verschillende driehoeken die daaraan voldoen. Bijvoorbeeld eentje binnen een rechthoek van `6` bij `3` cm waarvan de basis `6` cm is.
`opp(DeltaABC)=1/2*15*8=60`
`opp(DeltaPQR)=1/2*10,5*6=31,5`
`opp(DeltaABD)=1/2*5 *6 = 15` cm2.
Je kunt de oppervlakte niet exact met behulp van de oppervlakteformule berekenen, omdat de basis en hoogte niet op roosterlijnen en tussen roosterpunten staan. Je kunt de afmetingen wel opmeten, maar dat is minder nauwkeurig.
Zet eerst een vierkant om `DeltaACD` .
`opp(DeltaACD)=6 *6 -1/2*6 *3 -1/2*5 *3 -1/2*6 *1 =16,5` cm2.
Neem als basis
`AC≈6,1`
cm. De bijbehorende hoogte
`DE`
, de
afstand van
`D`
tot
`AC`
, is ongeveer
`5,4`
cm. De
hoogte van een driehoek is altijd de afstand van het hoekpunt tegenover de
basis (loodrecht) naar deze basis.
`opp(DeltaACD)≈1/2*6,1 *5,4 =16,47≈16,5`
cm2.
| `7,5` | `=` | `1/2*5 *CD` | |
| `7,5` | `=` | `2,5 *CD` | |
| `CD` | `=` | `(7,5)/(2,5)=3` |
`BE=30/7=4 2/7`
`opp(Delta ABC)= 1/2*5 *12 =30`
`BD` is de hoogte op basis `AC` .
Er geldt: `1/2*13 *BD=30` . Dus is `13 *BD=60` .
`BD=60/13` . Dat is `4 8/13` .
`opp(DeltaABC)=1/2*6,5 *4 =13`
`opp(DeltaKLM)=1/2*4,5 *7,2 =16,2`
`opp(DeltaABC)=1/2*AB*CE=1/2*3 *4 =6` roostereenheden.
`opp(DeltaABD)=1/2*AB*DF=1/2*3 *6 =9` roostereenheden.
De lengtes van de zijden zijn niet exact bekend. Om de oppervlakte exact te kunnen berekenen, moet je een rechthoek om `DeltaACD` tekenen.
`opp(DeltaACD)=4 *6 -1/2*2 *4 -1/2*4*2 -1/2*2 *6 =10` roostereenheden.
Neem bij de kleine driehoek de zijde van `1,2` dm als basis. De bijbehorende hoogte is `2,8` dm. Bij de grote driehoek is de hoogte op de basis van `4,2` dm gelijk aan `2,8+1=3,8` dm.
`o p p e r v l a k t e (f i g u u r)=1/2*1,2 *2,8 + 1/2*4,2 *3,8 =9,66` dm2.
Teken met geodriehoek en passer een driehoek met zijden van:
`310/50=6,2`
cm,
`200/50=4,0`
cm en
`180/50=3,6`
cm.
In de figuur wordt dit ongeveer `2,2` cm, dus in werkelijkheid ongeveer `2,2*50=110` cm.
Ongeveer `1/2*310*110~~17050` cm2.
Neem bijvoorbeeld de hoogte op (het verlengde van) de zijde van
`200`
cm (in de tekening:
`4`
cm). Deze is ongeveer
`3,4`
cm, dus in werkelijkheid
`3,4*50=170`
cm. De oppervlakte wordt dan ongeveer
`1/2*200 *170 =17000`
cm2.
Omdat de tekening op schaal is, krijg je als je zelf afwijkende meetwaarden hebt gevonden,
al snel wat grotere afwijkingen.
Bereken eerst de totale oppervlakte met de twee rechthoekszijden van de
driehoek:
`opp(DeltaABC) = 1/2 * 20 * 15 = 150`
.
Neem nu `BC` als basis, dan wordt `AD` de bijbehorende hoogte.
Dan moet gelden: `opp(DeltaABC)=1/2 * BC * AD = 1/2 * BC * 12 = 150` .
Dit geeft `6 BC = 150` , zodat `BC=25` .
Neem bijvoorbeeld `AB` als basis. Doordat je de oppervlakte weet, weet je nu ook de bijbehorende hoogte, dus de afstand van `AB` tot het tegenoverliggende hoekpunt `C` .
Bereken eerst deze hoogte uit: `opp(DeltaABC) = 1/2 * AB * h = 1/2 * 5 * h=11,25` .
Je vindt `h=4,5` cm.
Begin nu met het tekenen van basis `AB` . Teken een evenwijdige lijn op `4,5` cm afstand, waarvan je weet dat hoekpunt `C` daar in ieder geval op moet liggen (zie lijn `n` in de figuur). Maak vanuit `B` met de passer een cirkelboog met een straal van `7,5` cm. De cirkel en de lijn snijden elkaar bij punten `C` en `D` . Snijpunt `D` valt af, aangezien `/_ B` een stompe hoek moet zijn. Snijpunt `C` voldoet aan de eisen. Maak driehoek `ABC` af.
Een gespiegelde of gedraaide versie van de driehoek is uiteraard ook goed.
`8*6=48` cm draad.
Maak met behulp van je passer een uitslag. De hoogte van elke driehoek op de zijden van het grondvlak wordt ongeveer `5,2` cm. De totale oppervlakte (inclusief grondvlak) is dus ongeveer `6 *6 +4 *1/2*6 *5,2 =98,4≈98` cm2.
`s` staat voor de halve omtrek. De omtrek bereken je door `a` , `b` en `c` bij elkaar op te tellen, ofwel: `a+b+c` . De helft daarvan is `(a+b+c)/2` . Dus `s=(a+b+c)/2`
De rechthoekszijden van deze driehoek zijn `3` cm en `4` cm lang. Die kun je meteen als basis en hoogte gebruiken. Er geldt dan: oppervlakte (driehoek) `= 1/2 *` basis `*` hoogte.
Invullen geeft: oppervlakte (driehoek) `= 1/2 * 3 * 4=6` cm2.
Bereken eerst `s` met de formules die je bij a hebt gevonden. Je vindt dan: `s=(a+b+c)/2=(3+4+5)/2=12/2=6` . Dus `s=6` .
`s-a=6-3=3` , `s-b=6-4=2` en `s-c=6-5=1` .
Vul dit in de formule van Heron in:
oppervlakte `=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))=sqrt(6*3*2*1)=sqrt(36) =6` cm2.
Dit klopt, want het is dezelfde uitkomst als bij b.
Met de formule van Heroon: oppervlakte `~~52,83` cm2.
`276442,5` mm2.
Bereken eerst de hoogte op `AB` van de driehoek: `h=6` cm.
Teken een driehoek met basis `AB=5` cm, met `BC=7,5` cm en hoogte `6` cm met een scherpe hoek bij `B` .