Formules voor omtrek en oppervlakte > Oppervlakte van driehoeken
1234567Oppervlakte van driehoeken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`20 1/2` cm2

b

`21` cm2.

c

Omdat één zijde precies samenvalt met een zijde van de rechthoek.

d

Nee.

e

Ja, dat kan wel. Je kunt de oppervlakte bijna `0` maken. Maak maar eens een driehoek met één hoekpunt in een hoekpunt van de rechthoek en de andere twee met de hoekpunten dicht bij het hoekpunt van de rechthoek dat er precies tegenover ligt. Je krijgt dan een heel smalle driehoek.

Opgave V2
a

In de figuur "zie" je nu wel dat de oppervlakte van de driehoek de helft van de rechthoek is.

(Maar een echt wiskundig bewijs is dat nog niet....)

b

`A=1/2*l*b`

c

Ja, zo'n verdeling kun je altijd maken, dus de oppervlakte is altijd gelijk aan die van de halve rechthoek.

Opgave 1
a

Maak binnen de rechthoek op zijde `AB` een `DeltaABC` met basis `AB=10` en hoogte `CD=7` . Is er maar één zo'n driehoek mogelijk?

ja

nee

b

Ja, omdat de basis en de hoogte hetzelfde blijven, heeft elk van die driehoeken inderdaad dezelfde oppervlakte.

c

oppervlakte ( `DeltaABC` ) `=35`
De linker en rechter driehoek zijn rechthoekige driehoeken, waarvan je al wist dat `A=1/2*l*b` . Controleer dat deze oppervlakten samen inderdaad `35` roosterhokjes zijn.

Opgave 2
a

oppervlakte ( `DeltaABC` )  `= 6` roosterhokjes

b

oppervlakte ( `DeltaDEF` ) `= 7,5` roosterhokjes

Opgave 3
a
b

Je kunt het beste vanuit punt `C` op zijde `AB` een hoogtelijn tekenen. Die lijn valt dan namelijk precies op een roosterlijn. Dat maakt het een stuk makkelijker met berekenen.

c

`1/2 * 5* 4 = 8`

Opgave 4

Een echt wiskundig bewijs zou er bijvoorbeeld zo uit kunnen zien: de oppervlakte van elk van beide linker rechthoekige driehoeken is `1/2 * CD* AD` .

De oppervlakte van elk van beide rechter rechthoekige driehoeken is `1/2 *CD * BD` , dus: 
oppervlakte (driehoek) `=1/2 * CD * AD + 1/2 * CD * BD`

De gemeenschappelijke factor `1/2*CD` buiten haakjes halen: 
oppervlakte (driehoek) `=1/2*CD*(AD+BD)`

Omdat `AD+BD=AB` geldt nu: 
oppervlakte (driehoek) `=1/2*CD*AB=1/2*` basis `*` hoogte

Hiermee heb je dan de formule voor alle mogelijke driehoeken binnen zo'n rechthoek bewezen!

Opgave 5
a

oppervakte ( `DeltaABC` ) `=10`
Nee, het maakt niet uit waar je punt `C` op de zijde van de groene rechthoek plaatst.

b

Maak eventueel een eigen schets. De oppervlakte van `DeltaABC` krijg je door van een halve rechthoek van `6` bij `4` een halve rechthoek van `1` bij `4` af te trekken. En dan kom je weer op een oppervlakte van `10` :
oppervlakte ( `DeltaABC` ) `=` oppervlakte ( `DeltaADC` ) `-` oppervlakte ( `DeltaBDC` ) `= 1/2 * (5+1)*4 - 1/2 * 1 * 4 = 10`

c

Zet punt `C` in een hoekpunt van de rechthoek. De hoogte en basis blijven hetzelfde, dus de oppervlakte ook. Bij een rechte hoek valt de hoogte van de driehoek samen met zijde `BC` .

Opgave 6
a

oppervlakte ( `DeltaKLM` )  `=11,25`  

b

oppervlakte ( `DeltaABC` ) `=28`

Opgave 7

Een gespiegelde of gedraaide versie van de driehoek is uiteraard ook goed.

Opgave 8

Dit is één van de mogelijkheden. Er zijn in principe oneindig veel driehoeken die aan deze eisen voldoen.

Opgave 9

oppervlakte ( `DeltaABC` ) `=60`

oppervlakte ( `DeltaPQR` ) `=31,5`  

Opgave 10
a

oppervlakte ( `DeltaABD` ) `=1/2*5 *6 = 15` cm2

b

Zie `DeltaACD` bij de uitwerking van c.
Je kunt de oppervlakte niet exact met behulp van de oppervlakteformule berekenen, omdat de basis en hoogte nu niet op roosterlijnen en tussen roosterpunten staan. Je kunt de afmetingen wel opmeten, maar dat is minder nauwkeurig.

c

oppervlakte ( `DeltaACD` ) `=16,5` cm2

d

oppervlakte ( `DeltaACD` ) `≈16,5` cm2

Opgave 11

`QR=10` cm

Opgave 12
a

`30`

b

`BD` is de hoogte op basis `AC` .

c

`BD=4 8/13`

Opgave 13

oppervlakte ( `DeltaABC` ) `=13`
oppervlakte ( `DeltaKLM` ) `=16,2`

Opgave 14
a

oppervlakte ( `DeltaABC` ) `=6` roosterhokjes

b

oppervlakte ( `DeltaABD` ) `=9` roosterhokjes

c

oppervlakte ( `DeltaACD` ) `=10` roosterhokjes

Opgave 15

`9,66` dm2

Opgave 16
a

`48` cm draad

b

De hoogte van elke driehoek op de zijden van het grondvlak wordt ongeveer `5,2` cm. De totale oppervlakte (inclusief grondvlak) is ongeveer   `98` cm² .

Opgave 17
a
b

Ongeveer `110` cm.

c

Ongeveer `17050` cm².

d

Neem bijvoorbeeld de hoogte op (het verlengde van) de zijde van `200` cm (in de tekening: `4` cm). Deze is ongeveer `3,4` cm, dus in werkelijkheid `3,4*50=170` cm. De oppervlakte wordt dan ongeveer `1/2*200 *170 =17000` cm2.
Omdat de tekening op schaal is, krijg je als je zelf afwijkende meetwaarden hebt gevonden, al snel wat grotere afwijkingen.

Opgave 18

`BC=25`

Opgave 19

Een gespiegelde of gedraaide versie van de driehoek is uiteraard ook goed.

Opgave 20
a

`s` staat voor de halve omtrek. De omtrek bereken je door `a` , `b` en `c` bij elkaar op te tellen, ofwel: `a+b+c` . De helft daarvan is `(a+b+c)/2` . Dus `s=(a+b+c)/2`

b

oppervlakte (driehoek) `=6` cm²

c

oppervlakte  `=6` cm²
Dit klopt, want het is dezelfde uitkomst als bij b.

d

oppervlakte  `~~52,83` cm²

Opgave 21

oppervlakte ( `DeltaABC` ) `=10`

oppervlakte ( `DeltaDEF` ) `= 7`

Opgave 22

`BD=60/13=4 8/13`

verder | terug