Formules voor omtrek en oppervlakte > Oppervlakte van vierhoeken
1234567Oppervlakte van vierhoeken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Door er een diagonaal in te tekenen: `AC` of `BD` . Zie antwoord bij b.

b

Gebruik diagonaal `AC` , daarvan weet je de exacte lengte. Je weet dan ook de hoogtes van de `2` ontstane driehoeken.

c

`10` cm2

d

Je kunt elke vierhoek met behulp van een diagonaal in twee driehoeken verdelen. Als je de lengte van die diagonaal weet (of hebt gemeten) en de hoogtes van de twee driehoeken weet (of hebt gemeten), dan kun je de oppervlakte van de vierhoek berekenen (of benaderen).

Opgave V2
a

Je gebruikt diagonaal `BD` en de oppervlakte is die van twee gelijke driehoeken (waarvan er één "op de kop" ligt). De oppervlakte van het parallellogram is dus `2 *1/2*4 *5 =20` cm2.

b

Bij het opdelen via diagonaal `AC` ontstaan de `2` identieke driehoeken `DeltaABC` en `DeltaACD` , waarvan de basis en hoogte hetzelfde zijn als bij de opdeling in a.

c

nee

Opgave 1
a

Maak een parallellogram `ABCD` met basis `AB=7` en een hoogte van `5` . (Gebruik daarbij handig het rooster). Als je de plaats van `A` en `B` hebt gekozen, is er dan nog maar één parallellogram mogelijk?

ja

nee

b

In `DeltaABD` en `DeltaBCD` .

c

Heeft elk parallellogram met een basis van `7` en een hoogte van `5` dezelfde oppervlakte?

ja

nee

d

oppervlakte ( `ABCD` ) `=` basis `*` hoogte `=7 *5 =35=2*` oppervlakte (driehoek) `=2*1/2*7*5`

Opgave 2
a

Zie de figuur bij b. Nee, er zijn meer mogelijk.

b

In `DeltaABD` en `DeltaBCD` , door de diagonale lijn `BD` .

c

Heeft elk trapezium met deze afmetingen dezelfde oppervlakte?

ja

nee

d

oppervlakte ( `ABCD` ) `=25`

Opgave 3

oppervlakte (a) `=32`
oppervlakte (b) `=800`

Opgave 4
a

oppervlakte (I) `=12`

b

Ook `12` .

c

Parallellogram IV

Opgave 5
a

Door het driehoekige gedeelte rechts van hoekpunt `B` naar links te verschuiven, krijg je precies een rechthoek (zie figuur). Voor deze rechthoek geldt uiteraard:

oppervlakte (rechthoek) `=` oppervlakte (parallellogram) `=` basis `*` hoogte

b

Nee, de redenering uit a klopt wel voor parallelogrammen waarbij `D` links van `E` ligt of met `E` samenvalt. De redenering klopt niet voor parallelogrammen waarbij `D` rechts van `E` ligt. Je kunt dan geen driehoek `BCE` maken en verplaatsen. Dat je met de redenering uit antwoord a niet de geldigheid voor alle parallellogrammen hebt bewezen, wil niet zeggen dat de formule niet altijd geldig is. Bij andere vormen van een parallellogram is echter een extra knip-en-plak-stap nodig.

Opgave 6

oppervlakte (vlieger) `=3900`
oppervlakte (ruit) `=4000`

Opgave 7
a

Je kunt dit bijvoorbeeld uitleggen door er een rechthoek omheen te tekenen (zie figuur) en dan uit te leggen waarom de vlieger precies de halve oppervlakte van die rechthoek heeft.

Een andere manier is, om de oppervlaktes van de twee afzonderlijke driehoeken in `p` en `q` uit te drukken, deze bij elkaar op te tellen en de formule te vereenvoudigen.

b

Je ziet dat je iedere vlieger kunt opdelen in twee identieke driehoeken aan weerszijden van symmetrieas `q` . In vlieger `EFGH` zijn dit `DeltaEGH` en `DeltaEFG` en in vlieger `ABCD` zijn dit `DeltaACD` en `DeltaABC` . Door het evenwijdig met de symmetrieas verschuiven van de toppen `H` en `F` in vlieger `EFGH` ontstaat vlieger `ABCD` met toppen `D` en `B` , met een stompe hoek op de symmetrieas. Aangezien de hoogte van de bijbehorende identieke driehoeken niet verandert, blijft de oppervlakte van de driehoeken gelijk. De formule voor de oppervlakte blijft dus ook gelijk. De formule geldt voor vlieger `EFGH` en voor pijlpuntvlieger `ABCD` .

c

Geldt deze formule voor de oppervlakte van een vlieger voor elke vlieger? Dus ook voor een ruit bijvoorbeeld?

ja

nee

Opgave 8

Nu krijg je `DeltaABC` met oppervlakte ( `DeltaABC` )  `=1/2*1,9 *1,3 =1,235` m2 en `DeltaACD` met 
oppervlakte ( `DeltaACD` )  `=1/2*1,1 *1,3 =0,715` m2.

oppervlakte (trapezium)  `= 1,235 + 0,715 = 1,95`  m2

De driehoeken houden dezelfde waarden voor de basis en hoogte, dus de afzonderlijke en de totale oppervlakte veranderen niet.

Opgave 9
a

Verdeel het trapezium in twee driehoeken door een diagonaal te trekken. Dan is
oppervlakte (onderste driehoek) `=1/2*a*h` en oppervlakte (bovenste driehoek) `=1/2*b*h` . Als je deze twee oppervlaktes optelt, krijg je `1/2*a*h+1/2*b*h=1/2*(a+b)*h` .

b

`1,95` m2

c

Ja, de oppervlakteformule van a is ook nu geldig.

Opgave 10

`b=1,5`

Opgave 11

oppervlakte ( `ABCD` ) `=130`
oppervlakte ( `KLMN` ) `=44`
oppervlakte ( `PQRS` ) `=60`

Opgave 12

`39,4` m2

Opgave 13

`9832` cm2

Opgave 14
a

`D text((-)1, 4)` en oppervlakte ( `ABCD` ) `=35` roosterhokjes

b

`E text((-)5, 4)` en oppervlakte ( `ABCE` ) `=49` roosterhokjes

c

`F (13, 4)` en oppervlakte ( `ABFC` ) is ook `49` roosterhokjes

d

`G text((-)3, 2)` en oppervlakte ( `ABCG` ) `=35` roosterhokjes

Opgave 15

`BF=5,6`

Opgave 16

Ongeveer ` 32,4` m2.

Opgave 17
a

oppervlakte (vierkant) `=1/2d^2`

b

`4,5`

c

`d=8`

Opgave 18

`23,5` m

Opgave 19

Nee, het worden parallellogrammen die allemaal dezelfde basis hebben, maar verschillende hoogtes. Hoe "platter" het parallellogram wordt, hoe kleiner de hoogte en dus de oppervlakte.

Opgave 20

`18` roostereenheden

Opgave 21
a

oppervlakte `=2k^2`

b

`20`

verder | terug