Formules omtrek en oppervlakte > Oppervlakte van vierhoeken
1234567Oppervlakte van vierhoeken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Door er een diagonaal in te tekenen: `AC` of `BD` . Zie antwoord bij b.

b

Gebruik diagonaal `AC` , dan weet je de exacte lengte ervan en ook de hoogtes van de `2` ontstane driehoeken.

c

Je telt de oppervlaktes van beide driehoeken op: `1/2*5 *3 +1/2*5 *1=10` cm2.

d

Je kunt elke vierhoek met behulp van een diagonaal in twee driehoeken verdelen. Als je de lengte van die diagonaal weet (of hebt gemeten) en de hoogtes van de twee driehoeken weet (of hebt gemeten), dan kun je de oppervlakte van de vierhoek berekenen (of benaderen).

Opgave V2
a

Je gebruikt diagonaal `BD` en de oppervlakte is die van twee gelijke driehoeken (waarvan er één "op de kop" ligt). De oppervlakte van het parallellogram is dus `2 *1/2*4 *5 =20` cm2.

b

Bij het opdelen via diagonaal `AC` ontstaan de `2` identieke driehoeken `DeltaABC` en `DeltaACD` , waarvan de basis en hoogte hetzelfde zijn als bij de opdeling in a.

c

Nee, met behulp van deze twee afmetingen ligt de figuur nog niet vast. Je moet ook bijvoorbeeld `∠BAC` weten. Voor de oppervlakte maakt dat kennelijk geen verschil.

Opgave 1
a

Maak een parallellogram `ABCD` met basis `AB=7` en een hoogte van `5` . (Gebruik daarbij handig het rooster). Als je de plaats van `A` en `B` hebt gekozen, is er dan nog maar één parallellogram mogelijk?

ja

nee

b

In `DeltaABD` en `DeltaBCD` .

c

Heeft elk parallellogram met een basis van `7` en een hoogte van `5` dezelfde oppervlakte?

ja

nee

d

oppervlakte ( `ABCD` ) `=` basis `*` hoogte `=7 *5 =35=2*` oppervlakte (driehoek) `=2*1/2*7*5`

Opgave 2
a

Zie de figuur bij b. Nee, je kunt lijnstuk `CD` nog onbeperkt in dezelfde richting verschuiven, zodat de hoogte niet verandert.

b

In `DeltaABD` en `DeltaBCD` , door de diagonale lijn `BD` .

c

Heeft elk trapezium met deze afmetingen dezelfde oppervlakte?

ja

nee

d

oppervlakte ( `ABCD` ) `=` oppervlakte ( `ABD` ) `+` oppervlakte ( `BCD` ) `=1/2*7 *5 +1/2*3 *5 =25`

Opgave 3

oppervlakte (a) `=8*4=32`
oppervlakte (b) `=100*80=800`

Opgave 4
a

oppervlakte (I) `=4*3=12`

b

Ook `12` . Ze hebben alle drie dezelfde oppervlakte als parallellogram I, aangezien de breedte en hoogte hetzelfde zijn.

c

Parallellogram IV, want daarvan zijn de twee schuine zijden veel langer dan die van de andere parallellogrammen.

Opgave 5

oppervlakte (vlieger) `=2 *1/2*30 *30 +2 *1/2*100 *30 =3900`
oppervlakte (ruit) `=4 *1/2*50 *40 =4000`

Je kunt de figuren eventueel ook opdelen in twee niet-rechthoekige driehoeken.

Opgave 6
a

Je kunt dit bijvoorbeeld uitleggen door er een rechthoek omheen te tekenen (zie figuur) en dan uit te leggen waarom de vlieger precies de halve oppervlakte van die rechthoek heeft.

Een andere manier is, om de oppervlaktes van de twee afzonderlijke driehoeken in `p` en `q` uit te drukken, deze bij elkaar op te tellen en de formule te vereenvoudigen.

b

Ook deze vlieger kun je opdelen in twee identieke driehoeken aan weerszijden van de symmetrieas. De oppervlakte is dus gelijk aan de oppervlakte van twee gelijke stomphoekige driehoeken met een basis van `2,8` cm en een hoogte van `2,1` cm.
Dus oppervlakte(pijlpuntvlieger) `=2*1/2*2,8*2,1 = 5,88` dm2.

c

Geldt de formule voor de oppervlakte van een vlieger voor elke vlieger? Dus ook voor een ruit bijvoorbeeld?

ja

nee

Opgave 7
a

De hoogtes van de driehoeken zijn lijnstukken `DE` met `E` op `AB` en `BF` met `F` op het verlengde van `DC` . Er zijn meerdere trapezia mogelijk die aan de gegevens voldoen, want de precieze plaats van zijde `CD` ligt niet vast.

b

Nu krijg je `DeltaABC` met `opp(DeltaABC)=1/2*1,9 *1,3 =1,235` m2 en `DeltaACD` met `opp(DeltaACD)=1/2*1,1 *1,3 =0,715` m2. (De driehoeken houden dezelfde waarden voor de basis en hoogte, dus de afzonderlijke oppervlaktes en de totale oppervlakte veranderen niet).

Opgave 8
a

Verdeel het trapezium in twee driehoeken door een diagonaal te trekken. Dan is
oppervlakte (onderste driehoek) `=1/2*a*h` en oppervlakte (bovenste driehoek) `=1/2*b*h` . Als je deze twee oppervlaktes optelt, krijg je `1/2*a*h+1/2*b*h=1/2*(a+b)*h` .

b

Je vindt voor de oppervlakte `1/2*(1,9 +1,1 )*1,3 =1,95` m2.

c

Ja, de oppervlakteformule van a is ook nu geldig, want de hoogte van de (nu stomphoekige) driehoeken verandert niet.

Opgave 9

oppervlakte parm( `ABCD` ) `=` basis `*` hoogte `=13 *10 =130` .
oppervlakte vlieger( `KLMN` ) `= 2 * 1/2 * 4 * 11 =44` .
oppervlakte trapezium( `PQRS` ) `= 1/2*11,5 *8 + 1/2 * 3,5 * 8 = 60` .

Opgave 10
a

oppervlakte (I) `=` basis `*` hoogte `= 5 *20 =100` cm2 (parallellogram).
oppervlakte (II) `=1/2*12 *20 + 1/2 * 5 * 20 =170` cm2 (trapezium).
oppervlakte (III) `=1/2*` basis `*` hoogte `=1/2*8 *20 =80` cm2 (driehoek).
oppervlakte (IV) `=` basis `*` hoogte `=20 *20 =400` cm2 (parallellogram).

b

De totale oppervlakte van de vier figuren is `750` cm2, dus de plank heeft een oppervlakte van `1500` cm2. Voor een rechthoek geldt: oppervlakte `=` lengte `*` breedte, dus `1500 = ` lengte ` * 20` . De lengte ervan is daarom `1500 /20 =75` cm.

Opgave 11

Nee, het worden parallellogrammen die allemaal dezelfde basis hebben, maar verschillende hoogtes. Hoe "platter" het parallellogram wordt, hoe kleiner de hoogte en dus de oppervlakte.

Opgave 12

Je kunt de figuur verticaal verdelen in twee trapezia.
De oppervlakte is `1/2*162*88 + 1/2 * 36 *88 +1/2*36*35 + 1/2 * 28 *35 =9832` cm2.

Opgave 13
a

`D (text(-)1, 4)` en oppervlakte ( `ABCD` ) `=5*7=35` roostereenheden.

b

`E(text(-)5, 4)` en oppervlakte ( `ABCE` ) `=1/2*5*7 + 1/2 * 9 * 7 =49` roosterhokjes.

c

`F (13, 4)` en oppervlakte ( `ABFC` ) is ook `=1/2*5*7 + 1/2 * 9 * 7 =49` roosterhokjes.

d

`G (text(-)3, 2)` en oppervlakte ( `ABCG` ) `=7*7-2*1/2*2*7=35` roosterhokjes.

Opgave 14

Met behulp van basis `AD` en hoogte `BE` kun je de oppervlakte van dit parallellogram berekenen:

oppervlakte ( `ABCD` ) `=AD*BE=7 *4 =28` .

Omdat `ABCD` een parallellogram is, is `CD=AB=5` . De oppervlakte van het parallellogram is al bekend, maar is ook uit te rekenen met basis `CD` en hoogte `BF` .

Dus oppervlakte ( `ABCD` ) `=CD*BF=5 *BF=28` .

Dit betekent dat `BF=28 /5 =5,6` .

Opgave 15
a

De diagonalen van een vierkant snijden elkaar precies doormidden en staan loodrecht op elkaar. Een vierkant bestaat dus uit vier gelijkbenige, rechthoekige driehoeken met benen van `1/2d` . Basis en hoogte zijn voor elke driehoek beide `1/2d` .

De oppervlakte van het vierkant is daarom `4 *1/2*1/2d*1/2d=1/2d^2` .

b

`d=3` , dus de oppervlakte is `1/2d^2=1/2*3^2=4,5` .

c

`1/2d^2=32` geeft `d^2=64` .

Dus `d=sqrt(64)=8` .

Opgave 16Mansardedak
Mansardedak

De zevenhoek is te verdelen in een rechthoek, een trapezium en een driehoek. De totale oppervlakte is `310 *636 +1/2*636*204 + 1/2 *416 *204 +1/2*416 *96 =324432` cm2 en dat is ongeveer `32,4` m2.

Opgave 17Plantenkas
Plantenkas

De totale oppervlakte aan glas is

`2*` voorkant `+ 2 *` zijkant `+` bovenkant `=`

`2 *(1/2*320*240 + 1/2 *120*240) +2 *450 *260 +450 *120 =393600` cm2 en dat is ongeveer `39,4`  m2.

Opgave 18

`18` roostereenheden.

Opgave 19
a

oppervlakte `=2k^2`

b

`20`

verder | terug