Meetkundige berekeningen > Pythagoras
1234567Pythagoras

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Doen, verdeel ze bijvoorbeeld in rechthoeken en rechthoekige driehoeken.

b

Door de wortel te trekken uit de oppervlakte van het vierkant waar elke zijde ook een zijde van is.

c

De oppervlaktes van de twee kleinste vierkanten zijn even groot als die van het grootste vierkant.

d

Spelen met de applet.

Opgave 1
a

Zijde . De andere zijden zijn rechthoekszijden.

b

De oppervlakte van dit vierkant is .
Controleer dat je dit ook vindt door de roostereenheden binnen dit vierkant te tellen.

c

.

d

De lengte in de tekening klopt bij benadering.

Opgave 2
a

De oppervlakte van dit vierkant is . Controleer dat je dit ook vindt door "hokjes tellen".

b

. Een benadering is niet nodig omdat een kwadraat is. Dit komt af en toe voor bij de stelling van Pythagoras.

c

De lengte in de tekening klopt.

Opgave 3

is de hypothenusa, dus .
Dit geeft en dus cm.
Conclusie: mm.

Opgave 4
a

Beide zijden hebben een lengte van , want ze bestaan elk uit de twee rechthoekszijden van de rechthoekige driehoek achter elkaar gelegd.

b

Ook nu hebben beide zijden een lengte van , want ze bestaan elk uit de twee rechthoekszijden van de rechthoekige driehoek achter elkaar gelegd.

c

Dat is gelijk aan de oppervlakte van de vierkanten I en II plus vier gelijke rechthoekige driehoeken die allemaal gelijk zijn aan .

d

Dat de oppervlakte van vierkant III gelijk moet zijn aan die van de vierkanten I en II samen.

d

De redenering hiervoor ziet er wel sterk uit. Maar er zijn wat haken en ogen...
Hoe weet je bijvoorbeeld zeker dat al die rechthoekige driehoeken binnen de gestippelde vierkanten ook echt gelijk zijn aan ? Een echt zorgvuldig bewijs kun je in de wiskunde alleen leveren binnen een goed opgebouwde theorie. Daar maak je alleen in de bovenbouw bij vwo wiskunde B kennis mee.

Opgave 5
a

geeft .

b

Geef elkaar een opgave op (bijvoorbeeld op papier) en laat de ander het antwoord berekenen. Controleer je antwoord met de applet in Voorbeeld 1.

Opgave 6
a

Schets de driehoek.

De lengte van is dan ongeveer cm.

b

. Dit geeft cm.

Opgave 7


, dus .


, dus .


, dus .

Opgave 8
a

De ladder bereikt nu een hoogte van m.

b

Nu krijg je: .
Dit geeft: .
En dus is: m. De voet van de ladder moet op cm van de muur.

Opgave 9
a

De lengte van is ongeveer cm.

b

. Dit geeft cm.

Opgave 10

Oefen dit goed!

Opgave 11
a

Voor geldt de volgende stelling van Pythagoras:
.
.

Voor geldt de volgende stelling van Pythagoras:
.
.

b

Oefen dit goed met een klasgenoot.

Opgave 12
a

Omdat geldt in deze driehoek de stelling van Pythagoras: . En omdat die alleen in rechthoekige driehoeken geldt, moet deze driehoek dus wel rechthoekig zijn. Ga na, dat de rechte hoek is.

b




In deze driehoek geldt de stelling van Pythagoras dus niet.

c





In deze driehoek geldt de stelling van Pythagoras. De driehoek is rechthoekig.

Opgave 13
a

Gebruik passer en geodriehoek.
Omdat .

b

Gebruik passer en geodriehoek.
Omdat .

Opgave 14


, dus .


, dus .


, dus .

Als eerste geldt .
, dus .
Er geldt ook dat .
Vervolgens geldt: .
, dus .

Opgave 15

Zie de figuur.

Eerste figuur:
De bovenste twee vierkanten zijn gelijk aan .
Het onderste vierkant is gelijk aan .

Tweede figuur:
Het eerste onbekende vierkant is gelijk aan .
Het tweede onbekende vierkant is gelijk aan .
De twee overige kleinere vierkanten zijn gelijk aan .

Opgave 16
a

, dus deze driehoek is rechthoekig met als rechte hoek.

b

, dus deze driehoek is niet rechthoekig.

c

, dus deze driehoek is rechthoekig met als rechte hoek.

d

, dus deze driehoek is rechthoekig met als rechte hoek.

Opgave 17

De ladder moet m lang zijn.

Opgave 18

Het beeldscherm is inch lang en dat is ongeveer cm.
Dit beeldscherm heeft een lengte van mm en een breedte van mm.

Opgave 19

De diameter van het ronde tafelkleed moet een minimale lengte hebben die gelijk is aan de diagonaal van het vierkante tafelblad.
De diagonaal kan worden berekend in centimers:

geeft cm.
De diameter van het tafelkleed moet dus minimaal cm zijn. Afgerond op gehele centimeters is dat cm.

Opgave 20

Aan de zijkant van het huis is een rechthoekige driehoek te zien: van de nok recht naar beneden tot de vloer van de bovenste verdieping, van het midden van de vloer van de bovenverdieping naar de dakgoot en van de dakgoot naar de nok. De zijkant van het pannendak is dus te berekenen met de Stelling van Pythagoras: .

Het dak bestaat uit twee rechthoeken van m bij m. De totale dakoppervlakte is daarom ongeveer m2.
Daarvoor zijn dakpannen nodig (naar beneden afronden kan vanwege de schoorsteen).
(De maten van het dak zullen ongetwijfeld in werkelijkheid zo worden gekozen dat het met gehele dakpannen kan worden bedekt.)

Opgave 213,4,5-steek
3,4,5-steek
a

, dus in zo'n driehoek geldt de stelling van Pythagoras. Het is dus een rechthoekige driehoek.

b

Noem de tussenruimtes tussen de knopen cm. Je kunt dan een driehoek maken met zijden van , en . Omdat , geldt in deze driehoek altijd de stelling van Pythagoras en dus is hij altijd rechthoekig.

Opgave 22Pythagorasbomen
Pythagorasbomen
a

Teken de figuur na.

De kleinste vierkanten zijn bij cm.

b

In het midden komen er vierkanten tegen elkaar en daar is de boom dus niet meer uit te breiden of je moet vierkantjes over elkaar heen leggen.

c

Je moet heel nauwkeurig tekenen. Er komen nog twee stappen bij, maar er zijn nu meer plekken waar "takken" over elkaar gaan lopen.

d

Leuk om zelf eens uit te zoeken. Misschien ontdek je wel dat de hele Pythagorasboom altijd binnen een rechthoek past die keer zo lang is als het vierkantje waarmee je begint en keer zo breed.

Opgave 23SvP bewijzen
SvP bewijzen
a

Eerst wordt aangetoond dat de twee gestippelde vierkanten in beide figuren hetzelfde zijn. De oppervlakte van het gestippelde vierkant in de linker figuur is gelijk aan de oppervlakte van vierkant III plus vier gelijke rechthoekige driehoeken die allemaal gelijk zijn aan . De oppervlakte van het gestippelde vierkant in de rechter figuur is gelijk aan de oppervlakte van de vierkanten I en II plus vier gelijke rechthoekige driehoeken die allemaal gelijk zijn aan . En dus moet de oppervlakte van vierkant III wel gelijk zijn aan de oppervlakte van de vierkanten I en II.

b

De zijden ervan zijn . Dus is gelijk aan de oppervlakte.

c

.

d

Uit c volgt: .
Uit d volgt: .
Beide uitdrukkingen geven dezelfde oppervlakte weer en zijn dus gelijk. En daaruit volgt .

e

Het ziet er mooi uit, maar je moet eigenlijk ook nog aantonen dat het blauwe gebied echt een vierkant is als de hele figuur een vierkant is. Dat gaat met behulp van hoeken...

Opgave 24

.

.

.

Opgave 25
a

, dus deze driehoek is rechthoekig met als rechte hoek.

b

, dus deze driehoek is niet rechthoekig.

Opgave 26

De diameter van het tafelkleed moet minimaal cm zijn.

verder | terug