Meetkundige berekeningen > Pythagoras
1234567Pythagoras

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Doen.

b

Door de wortel te trekken uit de oppervlakte van het vierkant waar elke zijde ook een zijde van is.

c

De oppervlaktes van de twee kleinste vierkanten zijn even groot als die van het grootste vierkant.

d

Spelen met de applet.

Opgave 1
a

Zijde .

b

Zijden en .

c

Dus voor de oppervlakte van het vierkant geldt .

d

.

e

De lengte in de tekening klopt bij benadering.

Opgave 2
a

 

b

De oppervlakte van dit vierkant is .

c

.

d

De lengte in de tekening klopt bij benadering.

Opgave 3
a

 

b

De oppervlakte van dit vierkant is .

c

. Een benadering is niet nodig omdat een kwadraat is. Dit komt af en toe voor bij de stelling van Pythagoras.

d

De lengte in de tekening klopt.

Opgave 4

mm.

Opgave 5
a

Beide zijden hebben een lengte van , want ze bestaan elk uit de twee rechthoekszijden van de rechthoekige driehoek achter elkaar gelegd.

b

Ook nu hebben beide zijden een lengte van , want ze bestaan elk uit de twee rechthoekszijden van de rechthoekige driehoek achter elkaar gelegd.

c

Dat is gelijk aan de oppervlakte van de vierkanten I en II plus vier gelijke rechthoekige driehoeken die allemaal gelijk zijn aan .

d

Dat de oppervlakte van vierkant III gelijk moet zijn aan die van de vierkanten I en II samen.

d

De redenering hiervoor ziet er wel sterk uit. Maar er zijn wat haken en ogen...
Hoe weet je bijvoorbeeld zeker dat al die rechthoekige driehoeken binnen de gestippelde vierkanten ook echt gelijk zijn aan ? Een echt zorgvuldig bewijs kun je in de wiskunde alleen leveren binnen een goed opgebouwde theorie. Daarmaak je alleen in de bovenbouw bij vwo wiskunde B kennis mee.

Opgave 6
a

geeft .

b

Geef elkaar een opgave op (bijvoorbeeld op papier) en laat de ander het antwoord berekenen. Controleer je antwoord met de applet in Voorbeeld 1.

Opgave 7
a

Schets de driehoek.

De lengte van is dan ongeveer 35 mm.

b

 

Nu geldt:

c

cm.

Opgave 8

.
.
.

Opgave 9
a

De ladder bereikt nu een hoogte van  m.

b

De voet van de ladder moet op cm van de muur staan.

Opgave 10
a

De lengte van is ongeveer  cm.

b

. Dit geeft cm.

Opgave 11

Oefen dit goed!

Opgave 12
a

Controleer je antwoorden met de applet. Gebruik het aanvinkvakje.


b

Oefen dit goed met een klasgenootje.

Opgave 13
a

Omdat geldt in deze driehoek de stelling van Pythagoras: . En omdat die alleen in rechthoekige driehoeken geldt, moet deze driehoek dus wel rechthoekig zijn. Ga na, dat de rechte hoek is.

b

In deze driehoek geldt de stelling van Pythagoras dus niet.

c

In deze driehoek geldt de stelling van Pythagoras. De driehoek is rechthoekig.

Opgave 14
a

Gebruik passer en geodriehoek.
Omdat .

b

Gebruik passer en geodriehoek.
Omdat .

Opgave 15

.

.

.

Opgave 16

Zie figuur.

Opgave 17
a

, dus deze driehoek is rechthoekig met als rechte hoek.

b

, dus deze driehoek is niet rechthoekig.

c

, dus deze driehoek is rechthoekig met als rechte hoek.

d

, dus deze driehoek is rechthoekig met als rechte hoek.

Opgave 18
a
b

 De ladder moet m lang zijn.

Opgave 19
a
b

 Het beeldscherm heeft een lengte van en een hoogte van cm.

Opgave 20

De diameter van het tafelkleed moet dus minimaal  cm zijn. 

Opgave 21

Daarvoor zijn dakpannen nodig.

Opgave 223,4,5-steek
3,4,5-steek
a

Manier 1: een constructie; manier 2: haakse hoek gebruiken; manier 3: de 3,4,5-regel.

b

, dus in zo'n driehoek geldt de stelling van Pyhtagoras. Het is dus een rechthoekige driehoek.

c

Noem de tussenruimtes tussen de knopen cm. Je kunt dan een driehoek maken met zijden van , en . Omdat , geldt in deze driehoek altijd de stelling van Pythagoras en dus is hij altijd rechthoekig.

Opgave 23Pythagorasbomen
Pythagorasbomen
a

Teken de figuur na.

De kleinste vierkanten zijn bij cm.

b

In het midden komen er vierkanten tegen elkaar en daar is de boom dus niet meer uit te breiden of je moet vierkantjes over elkaar heen leggen.

c

Je moet heel nauwkeurig tekenen. Er komen nog twee stappen bij, maar er zijn nu meer plekken waar "takken" over elkaar gaan lopen.

d

Leuk om zelf eens uit te zoeken. Misschien ontdek je wel dat de hele Pyhtagorasboom altijd binnen een rechthoek past die keer zo lang is als het vierkantje waarmee je begint en keer zo breed.

Opgave 24SvP bewijzen
SvP bewijzen
a

Eerst wordt aangetoond dat de twee gestippelde vierkanten in beide figuren hetzelfde zijn. De oppervlakte van het gestippelde vierkant in de linker figuur is gelijk aan de oppervlakte van vierkant III plus vier gelijke rechthoekige driehoeken die allemaal gelijk zijn aan . De oppervlakte van het gestippelde vierkant in de rechter figuur is gelijk aan de oppervlakte van de vierkanten I en II plus vier gelijke rechthoekige driehoeken die allemaal gelijk zijn aan . En dus moet de oppervlakte van vierkant III wel gelijk zijn aan de oppervlakte van de vierkanten I en II.

b

Bekijk de animatie goed.

c

De zijden ervan zijn . Dus is gelijk aan de oppervlakte.

d

.

e

Uit c volgt: .
Uit d volgt: .
Beide uitdrukkingen geven dezelfde oppervlakte weer en zijn dus gelijk. En daaruit volgt .

f

Het ziet er mooi uit, maar je moet eigenlijk ook nog aantonen dat het blauwe gebied echt een vierkant is als de hele figuur een vierkant is. Dat gaat met behulp van hoeken...

Opgave 25

.

.

.

Opgave 26
a

, dus deze driehoek is rechthoekig met als rechte hoek.

b

, dus deze driehoek is niet rechthoekig.

Opgave 27

De diameter van het tafelkleed moet minimaal  cm zijn. 

verder | terug