Meetkundige berekeningen > Pythagoras
1234567Pythagoras

Toepassen

In de bouw wordt voor het maken van rechte hoeken soms een bouwhaak gebruikt. Hier zie je er één. Je maakt hem met de zogenaamde 3,4,5-steek.

  • Bevestig twee latten met de uiteinden als een hoek aan elkaar. Maak ze vast met een draadnagel, zodat je de latten nog kunt draaien ten opzichte van elkaar.

  • Meet op de éne lat mm af () en op de andere mm ().

  • Meet op een derde langere lat mm af
    ().

  • Schuif de langste lat over de gemaakte hoek tot de maatstrepen precies op elkaar liggen. Nagel de schuine lat vast met 1 of 2 nagels en sla nog een nagel in de haakse hoek.

Je hebt nu een rechte hoek gekregen, want in de driehoek die ontstaat geldt de stelling van Pythagoras. Bekijk deze videoclip over een rechte hoek uitzetten.

Opgave 223,4,5-steek
3,4,5-steek

Bekijk hierboven wat de 3,4,5-steek is en hoe die in de bouw wordt gebruikt. Bekijk ook de videoclip over het maken van een rechte hoek in de praktijk.

Er worden in de videoclip drie manieren getoond om een rechte hoek te maken.

a

Welke drie manieren? Beschrijf ze.

b

Laat zien, dat een 3,4,5-driehoek een rechte hoek oplevert.

Vroeger werd voor de 3,4,5-steek een aaneengesloten touw met twaalf knopen gebruikt. Die twaalf knopen zaten op onderling gelijke afstand van elkaar.

c

Laat met een figuur zien hoe je daarmee een 3,4,5-steek maakt. Leg ook uit waarom het niet uit maakt hoe lang dit twaalfknopentouw is.

Opgave 23Pythagorasbomen
Pythagorasbomen

Je ziet hier het begin van een Pythagorasboom. Hij bestaat uit vierkanten die steeds gelijkbenige rechthoekige driehoeken insluiten. Hij is in 1942 bedacht door de Nederlandse ingenieur en wiskundeleraar Albert Bosman.

a

Teken zelf zo'n Pythagorasboom als deze hiernaast. Begin met een grootste vierkant van bij cm. Hoe groot zijn de kleinste vierkanten?

b

Je kunt je Pythagorasboom nog met volgende stappen uitbreiden, alleen in het midden van de figuur ontstaat een probleem. Welk probleem?

c

Teken de Pythagorasboom verder tot je vierkantjes hebt van bij cm.

d

Het lijkt wel of de totale boom steeds breder en hoger wordt. Is dat ook zo? Of past de hele boom binnen een rechthoek? En welke afmetingen is die rechthoek dan?

Opgave 24SvP bewijzen
SvP bewijzen

Een bewijs is een redenering waaruit blijkt dat een bewering altijd waar is. En een bewering waar een bewijs voor bestaat heet dan een stelling. In opgave 5 heb je een bewijs van de stelling van Pythagoras gezien.

a

Bekijk dat bewijs nog eens. Vat samen hoe het bewijs verloopt.

b

In het Practicum zie je nog een ander bewijs van de stelling van Pythagoras. Beschrijf hoe dat bewijs in elkaar zit.

Er bestaan nogal wat bewijzen van de stelling van Pythagoras. Uit de figuur hiernaast kun je nog een bewijs afleiden.

c

Leg uit dat het grote vierkant een oppervlakte van heeft.

d

De oppervlakte van het grote vierkant is ook de som van de oppervlaktes van het kleine vierkant en vier rechthoekige driehoeken. Schrijf hierbij een formule op voor afhankelijk van , en .

e

Laat zien (door haakjes uitwerken) dat uit  en  volgt .

f

Is dit een waterdicht bewijs van de stelling van Pythagoras?

verder | terug