Meetkundige berekeningen > Pythagoras
1234567Pythagoras

Uitleg

Je hebt bij Verkennen hopelijk ontdekt dat bij rechthoekige driehoeken de oppervlakte van het vierkant op de langste zijde even groot is dat de oppervlaktes van de vierkanten op de twee andere zijden samen.

Als van hoek de rechte hoek is, dan heet de zijde tegenover die rechte hoek de hypothenusa, dat is de langste zijde. De twee andere zijden, in dit geval en , zijn rechthoekszijden, want ze liggen op de benen van de rechte hoek.
In de rechthoekige geldt dan altijd dat:

ofwel:

Dit heet de stelling van Pythagoras. Bijvoorbeeld als en :

dus:

en .

Zo heb je de stelling van Pythagoras gebruikt om de langste zijde van de rechthoekige te berekenen.

Opgave 1

Bekijk in de applet hierboven.

a

Welke zijde is de hypothenusa? Hoe heten de andere zijden?

Neem in de applet en .

Teken zo'n rechthoekige driehoek met cm en cm op een rooster met hokjes van cm bij cm.

b

Reken de oppervlakte van het vierkant op de hypothenusa (de lange zijde) uit.

c

Hoe lang is ? Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

d

Meet de lengte van in de tekening na.

Opgave 2

Neem in de applet en .

Teken op een rooster een rechthoekige driehoek met cm en  cm op ware grootte.

a

Reken de oppervlakte van het vierkant op de hypothenusa (de lange zijde) uit.

b

Hoe lang is ? Waarom is nu geen benadering nodig?

c

Meet de lengte van in de tekening na.

Opgave 3

Van een rechthoekige driehoek met is  cm en  cm.

Bereken hoe lang is in mm nauwkeurig.

Opgave 4

Je kunt nu de stelling van Pythagoras wel gebruiken, maar hoe zeker ben je er van dat hij altijd correct is? Bekijk daartoe deze twee figuren.

a

Bekijk eerst de linker figuur. Daarin staat een vierkant met gestippelde zijden. Leg uit dat de oppervlakte van dit vierkant gelijk is aan .

b

Bekijk nu de rechter figuur. Daarin staat ook een vierkant met gestippelde zijden. Leg uit dat de oppervlakte van dit vierkant ook gelijk is aan .

c

De oppervlakte van het gestippelde vierkant in de linker figuur is gelijk aan de oppervlakte van vierkant III plus vier gelijke rechthoekige driehoeken die allemaal gelijk zijn aan . Hoe zit dat met de oppervlakte van het gestippelde vierkant in de rechter figuur?

d

Welke conclusie kun je uit het voorgaande trekken?

d

Heb je nu de stelling van Pythagoras afdoende bewezen?

verder | terug