Meetkundige berekeningen > Pythagoras
1234567Pythagoras

Uitleg

Je hebt bij Verkennen ontdekt dat bij rechthoekige driehoeken de oppervlakte van het vierkant op de langste zijde even groot is dat de oppervlaktes van de vierkanten op de twee andere zijden samen.

Als van `∆ ABC` hoek `C` de rechte hoek is, dan heet de zijde `c` tegenover die rechte hoek de hypothenusa, dat is de langste zijde. De twee andere zijden, in dit geval `a` en `b` , noem je rechthoekszijden, want ze liggen op de benen van de rechte hoek.
In de rechthoekige `∆ ABC` geldt dan altijd dat:

`BC^2+AC^2=AB^2`

ofwel:

`a^2+b^2=c^2`

In het algemeen geldt in elke rechthoekige driehoek de stelling van Pythagoras:

`(text(rechthoekzijde))^2 + (text(rechthoekzijde))^2 = (text(hypothenusa))^2`

Je kunt deze stelling goed gebruiken om de lengte van een zijde van een rechthoekige driehoek te berekenen als de twee andere zijden zijn gegeven. In de figuur zie je hoe dat gaat, bekijk ook de voorbeelden.

Opgave 1

Bekijk `∆ ABC` in de applet hierboven.

a

Welke zijde is de hypothenusa?

b

Welke twee zijden zijn de rechthoekszijden?

Neem in de applet `AC=2` en `BC=3` .

Teken zelf ook zo'n rechthoekige driehoek met `AC=2` cm en `BC=3` cm op ware grootte.

c

Reken de oppervlakte van het vierkant op de hypothenusa (de lange zijde) `AB` zelf uit.

d

Hoe lang is `AB` ? Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

e

Meet de lengte van `AB` in de tekening na.

Opgave 2

Neem in de applet `AC=5` en `BC=3` .

a

Teken een rechthoekige driehoek met `AC=5` cm en `BC=3` cm op ware grootte.

b

Reken de oppervlakte van het vierkant op de hypothenusa (de lange zijde) `AB` uit.

c

Hoe lang is `AB` ? Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

d

Meet de lengte van `AB` in de tekening na.

Opgave 3

Neem in de applet `AC=4` en `BC=3` .

a

Teken een rechthoekige driehoek met `AC=4` cm en `BC=3` cm op ware grootte.

b

Reken de oppervlakte van het vierkant op de hypothenusa (de lange zijde) `AB` uit.

c

Hoe lang is `AB` ? Waarom is nu geen benadering nodig?

d

Meet de lengte van `AB` in de tekening na.

Opgave 4

Van een rechthoekige driehoek `PQR` met `∠Q=90 °` is `PQ=12` cm en `QR=10` cm.

Hoe lang is `PR` in mm nauwkeurig?

Opgave 5

Je kunt nu de stelling van Pythagoras wel gebruiken, maar hoe zeker ben je er van dat hij altijd correct is? Bekijk daartoe deze twee figuren.

a

Bekijk eerst de linker figuur. Daarin staat een vierkant met gestippelde zijden. Leg uit dat de oppervlakte van dit vierkant gelijk is aan `(a+b) ^2` .

b

Bekijk nu de rechter figuur. Daarin staat ook een vierkant met gestippelde zijden. Leg uit dat de oppervlakte van dit vierkant ook gelijk is aan `(a+b) ^2` .

c

De oppervlakte van het gestippelde vierkant in de linker figuur is gelijk aan de oppervlakte van vierkant III plus vier gelijke rechthoekige driehoeken die allemaal gelijk zijn aan `∆ ABC` . Hoe zit dat met de oppervlakte van het gestippelde vierkant in de rechter figuur?

d

Welke conclusie kun je uit het voorgaande trekken?

d

Heb je nu de stelling van Pythagoras afdoende bewezen?

verder | terug