Meetkundige berekeningen > Lengtes berekenen
1234567Lengtes berekenen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Bijvoorbeeld van . Of van .

b

De stelling van Pythagoras in geeft: en dus is .

c

Alle zijvlaksdiagonalen zijn even lang, dus .

Opgave V2
a

Bijvoorbeeld van . Of van . Maar ook van en .

b

De stelling van Pythagoras in geeft: en dus is .

Opgave 1
a

In , de rechte hoek is .

b

In , de rechte hoek is .

c

 Bereken eerst de lengte van de rechthoekige driehoek . Hiervoor geldt de stelling van Pythagoras als volgt:


Vervolgens kan je de lengte van het lichaamsdiagonaal in berekenen.


Opgave 2
a


geeft cm.

b

 Zijn route is een rechte lijn van naar op de uitslag van de balk. Teken eventueel de uitslag.

Hiervoor geldt
geeft cm.

c

Zijn route is een rechte lijn van naar dwars door de balk, dus een lichaamsdiagonaal.
geeft cm.
En dan is dus cm.

Opgave 3

Zeker langer dan de langste afmeting van het pakje. Maar het moet er ook schuin inpassen...
Je berekent dus de lengte van een lichaamsdiagonaal.
Voor de diagonaal van het grondvlak geldt .
Voor de lichaamsdiagonaal geldt dus zodat cm.
Het rietje moet minstens mm lang zijn.

Opgave 4
a

In met als rechte hoek .

b

Begin met het vierkante grondvlak van bij cm. En zet dan loodrecht op het midden van elke zijde van dit grondvlak de lengte van uit. Je kunt nu de vier opstaande gelijkbenige driehoeken afmaken.

c

Alle ribben zijn gelijk omdat punt de top loodrecht boven het midden van het grondvlak zit.

Gebruik de stelling van Pythagoras in : .
Bereken eerst de lengte van uit :



.

Dan
cm

d

Begin met het vierkante grondvlak van bij cm. En cirkel dan vanuit elk hoekpunt van dit grondvlak de lengte van een opstaande ribbe uit. Je kunt nu de vier opstaande gelijkbenige driehoeken afmaken.

Opgave 5
a

b

Gebruik net als in het voorbeeld een driehoek zoals  .



Opgave 6
a


b


b

Bereken eerst uit :

.
Dan  uit :
.

Opgave 7

Opgave 8

Eerst reken je de lengte uit van een diagonaal van de bodem van het bakje: cm.
De diagonaal in het grondvlak recht onder het rietje, het rietje zelf en het onderste stuk van de opstaande ribbe waar het rietje tegen aan ligt, vormen een rechthoekige driehoek. Daarin is . En dus is de gevraagde hoogte cm. Ongeveer 9 cm dus, veel nauwkeuriger antwoorden hebben niet veel zin.

Opgave 9
a

Knap als je er zelf bent uitgekomen met een correcte berekening. Tekenen en meten kan natuurlijk altijd, maar het gaat om het vinden van een goede berekening.

b

volgt uit de stelling van Pythagoras in .
Verder is . En dus volgt uit de stelling van Pythagoras in .

c

Haakjes uitwerken geeft , zodat en .

d

geeft .

Opgave 10

De beide benen hebben een lengte van cm.
De hoogte wordt dan cm.
En dus is de oppervlakte cm2.

Opgave 11

Parallellogram heeft een hoogte van en dus is de oppervlakte .

Vlieger bestaat uit twee gelijke driehoeken, beide met basis en hoogte . Het snijpunt van en noem je , dan is en . De oppervlakte van de vlieger is dus .

Trapezium kun je verdelen in een rechthoek van bij en twee halve rechthoeken. Van de halve rechthoek zijn de rechthoekszijden en . Van de halve rechthoek zijn de rechthoekszijden en . De oppervlakte van het trapezium is dus .

Opgave 12
a

De diameter van de tunnel is ook de diagonaal van de rechthoek. Door de diagonaal te tekenen ontstaat er een rechthoekige driehoek met de diagonaal als hypotenusa.

m.

b

De oppervlakte van het vooraanzicht is m2. De oppervlakte van de rechthoek is m2. Dus is van de m2 niet voor het verkeer bestemd. Dat is ongeveer %.

Opgave 13

:
Eerst bereken je met behulp van de stelling van Pythagoras en . De oppervlakte is dus en de omtrek is .

:
Eerst bereken je met behulp van de stelling van Pythagoras en . De oppervlakte is dus en de omtrek is .

Pijlpuntvlieger :
Eerst bereken je met behulp van de stelling van Pythagoras en . De oppervlakte is dus en de omtrek is .

Cirkel min vierkant:
Eerst bereken je met behulp van de stelling van Pythagoras de diameter van de cirkel. Je vindt . De oppervlakte is dus en de omtrek is .

Opgave 14
a

  geeft .

b

 Gebruik de stelling van Pythagoras: .
Dit levert op en dus .

Opgave 15

Het deel van het rietje binnen het glas is de hypothenusa van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van cm en cm. De lengte van dit deel van het rietje is dus cm.
Er steekt dus nog cm van het rietje buiten het glas.

Opgave 16

De vloer is een vierkant met zijden van m.
Dan is .
En dus is de gevraagde hoogte m.

Opgave 17
a

Bereken eerst een diagonaal van de vloer van de lift en daarmee de lichaamsdiagonaal.
De diagonaal van de vloer bedraagt .
Vervolgens kan je de lichaamsdiagonaal  berekenen:

Je vindt ongeveer m.

a

Ja, dat kan omdat de linker en rechter zijvlaksdiagonalen zijn.

Opgave 18

Bereken alle drie de zijden van de driehoek en controleer of de stelling van Pythagoras hierin klopt.
Je wet dat en de lengte van .
Bereken eerst .


Je kan dan bereken uit .


Controle: .
Deze driehoek is rechthoekig.

Opgave 19Tekendriehoeken
Tekendriehoeken
a

Omdat er twee gelijke hoeken zijn.

b

c

geeft cm.
Je kunt ook de halve geodriehoek als gelijkbenige rechthoekige driehoek zien. Die is dan bij bij en ook dat is ongeveer cm.

d

Als je twee van deze driehoeken met de langste rechthoekszijde tegen elkaar legt, krijg je een gelijkzijdige driehoek. De kortste rechthoekszijde is dan de helft van een zijde van die gelijkzijdige driehoek. Als die kortste rechthoekszijde lengte heeft, heeft de gelijkzijdige driehoek zijden met lengte .

e

.

f

De hypothenusa is dan cm en de langste rechthoekszijde is cm.

Opgave 20De bolling van de Aarde
De bolling van de Aarde
a

De diameter is ongeveer , dus de straal is ongeveer km.

b

Maak een schets waarin je de Aarde als cirkel voorstelt met een straal van km. De tunnel van km wordt een rechte lijn die twee punten en op het aardoppervlak verbindt. De straal van de Aarde teken je nu vanuit het middelpunt naar en naar . Ook teken je die straal vanuit door het midden van . Je kunt dan berekenen: km. Dus zou de tunnel in het midden maar liefst km diep komen te liggen!

Opgave 21Uitgebreide stelling van Pythagoras
Uitgebreide stelling van Pythagoras
a

Bereken de lichaamsdiagonaal .
Bereken eerst de lengte van :
, oftewel



Vervolgens kun je de lichaamsdiagonaal berekenen:




b

De stelling van Pythagoras in geeft: .
De stelling van Pythagoras in geeft: .

c

geeft weer .

Opgave 22
a

.

b

.

Opgave 23
a

b

, en .

Je kunt nu nagaan dat in de stelling van Pythagoras geldt.

verder | terug