Meetkundige berekeningen

Meetkundige berekeningen > Lengtes berekenen

1234567Lengtes berekenen

Toepassen

Je ziet hier de twee klassieke tekendriehoeken.

De éne driehoek heeft hoeken van $45 °$ , $45 °$ en $90 °$ en is daarom een gelijkbenige rechthoekige driehoek.
Deze driehoek heeft bij rechthoekszijden van $1$ een hypothenusa van $\sqrt{2}$ .

De andere driehoek heeft hoeken van $30 °$ , $60 °$ en $90 °$ .
Deze driehoek is een halve gelijkzijdige driehoek en heeft bij een kleinste rechthoekszijde van $1$ een lange zijde van $2$ en een grootste rechthoekszijde van $\sqrt{3}$ .

Dit is allemaal te beredeneren met de stelling van Pythagoras...

Opgave 19Tekendriehoeken

Tekendriehoeken

Bekijk hierboven de twee klassieke tekendriehoeken.

De éne tekendriehoek heeft dezelfde vorm als een geodriehoek.

Waarom is deze tekendriehoek gelijkbenig?

Laat bij deze driehoek zien, dat bij rechthoekszijden van $1$ de hypothenusa $\sqrt{2}$ is.

Een geodriehoek heeft een lange zijde van $16$ cm.

Hoe lang zijn dan de twee rechthoekszijden?

De tweede tekendriehoek is een halve gelijkzijdige driehoek.

Waarom betekent dit dat de hypothenusa $2$ is als de kleinste rechthoekszijde $1$ is?

Laat nu zien dat de langste rechthoekszijde van de tweede tekendriehoek een lengte van $\sqrt{3}$ heeft.

Hoe groot zijn de zijden van deze tweede tekendriehoek als de kortste rechthoekszijde een lengte van $15$ cm heeft.

Opgave 21De bolling van de Aarde

De bolling van de Aarde

De planeet Aarde is (ongeveer) bolvormig en heeft een omtrek van $40000$ km. Vat de planeet op als een perfecte bol.

Bereken de straal van de Aarde in km nauwkeurig.

In het dagelijks leven merk je niet veel van de bolling van de Aarde. Maar stel je eens voor dat je een kaarsrechte tunnel wilt boren van Groningen naar Maastricht met een lengte van $300$ km.

Bereken hoe diep de bovenkant van die tunnel in het midden onder het aardoppervlak zou zitten.

Opgave 22Pythagoras in 3D

Pythagoras in 3D

Gegeven is een balk $A B C D . E F G H$ met $A B = a$ , $A D = b$ en $A E = c$ .

Bereken de lengte van lichaamsdiagonaal $A G$ als $a = 5$ , $b = 4$ en $c = 3$ .

Waarschijnlijk heb je bij a twee keer de stelling van Pythagoras toegepast. Maar dat is niet nodig: je kunt deze stelling uitbreiden naar drie dimensies.

Laat zien, dat $A G^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

Bereken de lengte van lichaamsdiagonaal $A G$ als $a = 5$ , $b = 4$ en $c = 3$ door de stelling van Pythagoras in drie dimensies toe te passen.

Opgave 23De formule van Heron

De formule van Heron

Heron van Alexandrë was een Grieks wiskundige uit de Oudheid die onder andere een formule heeft bedacht voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek als de drie zijden bekend zijn. Het toepassen van deze formule is eenvoudig, het afleiden ervan niet.

De oppervlakte van een driehoek met zijden $a$ , $b$ en $c$ is $\sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}$ waarin $s = \frac{1}{2} (a + b + c)$ de halve omtrek van de driehoek is.

Neem een $∆ A B C$ met $a = 6$ , $b = 4$ en $c = 8$ cm. Bereken de oppervlakte van deze driehoek met de formule van Heron.

Je kunt deze oppervlakte ook berekenen door de stelling van Pythagoras te gebruiken. Je moet dan eerst op een slimme manier de lengte van $D B = p$ uitrekenen. Dat doe je door de hoogte $h$ op twee manieren op te schrijven.

Laat zien, dat $h^{2} = 6^{2} - p^{2}$ en ook $h^{2} = 4^{2} - {(8 - p)}^{2}$ en bereken hiermee $p$ .

Bereken nu $h$ en de oppervlakte van $∆ A B C$ . Ga na dat je hetzelfde krijgt als je antwoord bij a.

Natuurlijk wil je aantonen dat de formule van Heron niet alleen in dit éne geval de juiste uitkomst geeft, maar voor elke waarde van $a$ , $b$ en $c$ (waarvoor je echt een driehoek hebt).

Je moet daartoe de opdrachten b en c nog eens doen, maar nu met de letters $a$ , $b$ en $c$ . Durf je de uitdaging aan?

verder | terug