Meetkundige berekeningen

Meetkundige berekeningen > Oppervlakte ruimtefiguur

Overzicht

1234567Oppervlakte ruimtefiguur

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Zie figuur.

$12 \cdot 18 + \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 252$ cm².

Het voorvlak kun je verdelen in een rechthoek van $12$ bij $18$ en twee rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden van $6$ cm. Die driehoeken zijn gelijkbenig en rechthoekig en hebben dus twee hoeken van $45 °$ . In het hoogste punt van het voorvlak zitten daarom twee hoeken van $45 °$ tegen elkaar. De totale hoek is dan $90 °$ .

Het dak bestaat uit twee rechthoeken waarvan de éne iets groter is dan de andere vanwege de dikte van het hout. De openingen die door het dak worden afgedekt zijn rechthoeken van $\sqrt{6^{2} + 6^{2}} = \sqrt{72} \approx 8,5$ cm bij $12$ cm.
Het kleinste dakdeel is daarom $10,5$ bij $16$ cm en het grootste dakdeel is $11,5$ bij $16$ cm.

Opgave 1

Een rechthoek.

$K L = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{8}$

De bovenkant en de onderkant van het prisma zijn vijfhoeken met een oppervlakte van $6 \cdot 6 - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 34$ cm².
Het vlak $K L M N$ heeft een oppervlakte van $6 \cdot \sqrt{8}$ cm².
De totale oppervlakte is daarom $2 \cdot 6 \cdot 6 + 2 \cdot 6 \cdot 4 + 68 + 6 \sqrt{8} = 188 + 6 \sqrt{8}$ cm².

Opgave 2

$B P = C Q = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10$ .
De totale oppervlakte is $6 \cdot 12 + 6 \cdot 6 + 2 \cdot 9 \cdot 8 + 6 \cdot 8 + 6 \cdot 10 = 360$ cm².

Opgave 3

Het grondvlak heeft een oppervlakte van $100$ cm².
Elk opstaand zijvlak heeft een hoogte van $\sqrt{10^{2} - 5^{2}} = \sqrt{75}$ .
De totale oppervlakte is daarom $100 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \sqrt{75} = 100 + 20 \sqrt{75}$ .

Opgave 4

Elk opstaand grensvlak heeft een hoogte van $\sqrt{4^{2} - 2^{2}} = \sqrt{12}$ .
De totale oppervlakte is daarom $4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{12} \approx 27,71$ cm².

Opgave 5

Zie figuur. Bereken eerst $A T = C T = \sqrt{52}$ .
De oppervlakte is $6 \cdot 6 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{52} = 60 + 6 \sqrt{52}$ cm².

Opgave 6

Als je de in de lengte openknipt en plat legt, krijg je een rechthoek met een lengte van $1000$ mm. De breedte is de omtrek van een cirkel met een straal van $8$ mm. De gevraagde oppervlakte is daarom $2 π \cdot 8 \cdot 1000 = 16000 π \approx 50265$ mm².

Opgave 7

Doen.

Die twee punten moeten straks één punt worden op de grondcirkel.
De grondcirkel van de kegel heeft een omtrek van $2 π \cdot 2 = 4 π$ cm.
De grote heeft een omtrek van $2 π \cdot 6 = 12 π$ cm.
De grondcirkel is dus $\frac{4 π}{12 π} = \frac{1}{3}$ deel van de grote cirkel. De sectorhoek moet daarom $\frac{1}{3} \cdot 360 = 120 °$ graden zijn.

Doen.

De oppervlakte van de grote cirkel is $π \cdot 6^{2} = 36 π$ . Van de kegelmantel is de oppervlakte dus $\frac{1}{3} \cdot 36 π = 12 π$ .

Nu moet je eerst nog $A T$ berekenen als $A$ een punt van de grondcirkel en $T$ de top is. Daarvoor gebruik je de stelling van Pythagoras: $A T = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = 13$ .
Nu heeft de grote cirkel een omtrek van $24 π$ en de grondcirkel een omtrek van $10 π$ . De sector is dus $\frac{10 π}{24 π} = \frac{5}{12}$ deel van de grote cirkel.
De oppervlakte van de grote cirkel is $π \cdot 12^{2} = 144 π$ . Van de kegelmantel is de oppervlakte dus $\frac{5}{12} \cdot 144 π = 60 π$ .

Opgave 8

De breedte van elk dakdeel (een rechthoekige driehoek) wordt $4$ m genomen. De oppervlakte wordt zo iets te groot geschat en dat is beter dan dat alles krap berekend is.

De voorgevel bestaat uit twee rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden van $8$ en $4$ m. De langste rechthoekzijde van een dakdeel is de hypothenusa van zo'n rechthoekige driehoek in de voorgevel. Dus is de lengte $\sqrt{4^{2} + 8^{2}} = \sqrt{80}$ .

Doen.

Deze dakgoot is de hypothenusa van een dakdeel en is daarom $\sqrt{4^{2} + {(\sqrt{80})}^{2}} = \sqrt{96}$ m lang.

Opgave 9

Zie figuur.
De ribben in het grondvlak zijn $2$ m en $\sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$ m.
De nok van de tent is $2$ m.
Alle andere schuine opstaande ribben zijn $\sqrt{1^{2} + {1,5}^{2}} = \sqrt{3,25}$ m.

Elke driehoek van de uitslag is gelijkbenig met twee benen van $\sqrt{3,25}$ m en een basis van $\sqrt{2}$ m. De hoogte daarvan is $\sqrt{{(\sqrt{3,25})}^{2} - {(\frac{1}{2} \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{2,75}$ m.
De totale oppervlakte is $4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2,75} + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3,25} \approx 11,90$ m².

Opgave 10

Gebruik de stelling van Pythagoras om de lengtes van de twee dakdelen te berekenen.
Het rechter dakdeel is een rechthoek van $200$ cm bij $\sqrt{200^{2} + 35^{2}} \approx 203$ cm.
Het linker dakdeel is een rechthoek van $100$ cm bij $\sqrt{100^{2} + 35^{2}} \approx 106$ cm.
De totale oppervlakte van het dak is dus ongeveer $200 \cdot 203 + 200 \cdot 106 = 61800$ cm² en dat is ongeveer $6,18$ m².

Opgave 11

Bereken eerst de schuine ribben. Die hebben een lengte van $\sqrt{240^{2} + 100^{2}} = 260$ cm.
De totale oppervlakte aan glas is ongeveer $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (320 + 120) \cdot 240 + 2 \cdot 450 \cdot 260 + 450 \cdot 120 = 393600$ cm² en dat is ongeveer $39,5$ m².

Opgave 12

De oppervlakte van de halve cilinder is $\frac{1}{2} \cdot 2 π \cdot 5,5 \cdot 20 = 110 π$ m². Je hebt dus voor ongeveer $110 π \cdot 1,5 \approx 518,4$ m² verf nodig.

Opgave 13

De piramide die het dak voorstelt heeft een rechthoekig grondvlak van $200$ bij $180$ cm. De hoogte van die piramide is $35$ cm. Het dak bestaat uit gelijkbenige driehoeken die echter niet alle vier hetzelfde zijn. Er zijn twee driehoeken met een basis van $200$ en een hoogte van $\sqrt{90^{2} + 35^{2}} = \sqrt{9325}$ en er zijn twee driehoeken met een basis van $180$ en een hoogte van $\sqrt{100^{2} + 35^{2}} = \sqrt{11225}$ .
De totale oppervlakte van het dak is daarom $200 \cdot \sqrt{9325} + 180 \cdot \sqrt{11225} \approx 38384$ cm².

Opgave 14

De uitslag van zo'n kegel is een cirkelsector. De grote cirkel waaruit die sector wordt geknipt heeft een straal van $\sqrt{20^{2} + 10^{2}} = \sqrt{500}$ cm.
Deze grote cirkel heeft een omtrek van $2 π \sqrt{500}$ en de grondcirkel heeft een omtrek van $20 π$ . De oppervlakte van de kegelmantel is het $\frac{20 π}{2 π \sqrt{500}} = \frac{10}{\sqrt{500}}$ van de oppervlakte van de grote cirkel. Je vindt dus een oppervlakte van $\frac{10}{\sqrt{500}} \cdot π \cdot {(\sqrt{500})}^{2} \approx 702,5$ cm².

Opgave 15Paaltjes verven

Paaltjes verven

Oppervlakte witte verf per paal: $7 \times 7 \times 50 = 2450$ cm².
Totale oppervlakte aan witte verf is $240 \times 0,245 = 58,8 \approx 60$ m².
Er is ongeveer $7,5$ liter witte verf nodig.

Oppervlakte rode verf per paal: $7 \times 7 \times 40 = 1960$ cm².
Totale oppervlakte aan rode verf is $240 \times 0,196 = 47,04 \approx 50$ m².
Er is ongeveer $6,25$ liter witte verf nodig.

Opgave 16Zouttoren

Zouttoren

Ondervlak en bovenvlak bevatten geen hout. Elk trapezium heeft een hoogte van $\sqrt{20^{2} + 2^{2}} = \sqrt{404}$ . Dus de oppervlakte van de vier trapeziumvormige zijvlakken is $4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (6 + 2) \cdot \sqrt{404} = 16 \sqrt{404}$ m². De balk aan de bovenkant heeft vier zijvlakken van hout, totale oppervlakte $4 \cdot 2 \cdot 1 \frac{1}{2} = 12$ m².
Dus in totaal $333,6$ m² aan hout.

Bijvoorbeeld door hun afmetingen te schatten op basis van de gegevens van de toren.

verder | terug