Meetkundige berekeningen

Meetkundige berekeningen > Inhoud ruimtefiguur

Overzicht

1234567Inhoud ruimtefiguur

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Zie figuur. Het kan ook wel op andere manieren, maar dit ligt toch wel het meest voor de hand.

`12 * 12 * 18 + 2 * 1/2 * 6 * 12 * 6 = 3024` cm³.

Opgave V2

Omdat je deze boterham zo kunt verdelen dat er precies `18` eenheidskubussen ontstaan en elke eenheidskubus heeft een inhoud van `1` cm³.

Nee, zolang je de oppervlakte van een plak weet. Je gaat er dan van uit dat elke plak overal even dik is.

`18 * 32 = 576` cm³.

`I ( prisma ) = G * h` waarin `G` de oppervlakte van het grondvlak voorstelt en `h` de hoogte. Een brood is een voorbeeld van een prisma als alle plakken dezelfde vorm hebben en even dik zijn. `G` is de oppervlakte van elke plak brood, `h` is de "hoogte" (aantal plakken) van het brood.

Opgave 1

Figuur I: `I = 7*4 = 28` cm³.
Figuur II: `I = 1/2*3*4*6 = 36` cm³.
Figuur III: `I = 12,875*5 = 64,375` cm³.

Opgave 2

Het is een figuur waarvan grondvlak en bovenvlak en elke dwarsdoorsnede evenwijdig met het grondvlak gelijk is.

`π*8^2 = 64π ~~ 201` cm².

`64π*20 = 1280π ~~ 4021` cm³.

Opgave 3

Het grondvlak van de kubus (en dus ook van de piramide) heeft een oppervlakte van `G=5*5=25` cm².
De hoogte van de piramide is `5` cm.
De inhoud is dus `1/3*25*5 = 125/3` cm³ en dat is precies éénderde deel van de inhoud van de kubus.

De inhoud is vanwege het resultaat bij a $4 \cdot \frac{125}{3}$ cm³. En dat is hetzelfde als $4 \cdot \frac{125}{3} = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 10 \cdot 10 \cdot 5$ .

$\frac{1}{3} \cdot 80 \cdot 60 \cdot 65 = 104000$ m³.

Opgave 4

Het is een figuur met een grondvlak en een top.

$π \cdot 9^{2} = 81 π$ cm².

$\frac{1}{3} \cdot 81 π \cdot 20 = 180 π$ cm³.

Opgave 5

Het grondvlak van het prisma kun je verdelen in een vierkant en een half vierkant, dus:
`G = 5*5 + 0,5*5*5 = 37,5` .

`π r^2* 10 = 375` geeft `π r^2 = 37,5` en `r^2 = (37,5)/π` .
Dus is `r = sqrt(37,5/π) ≈ 3,46` .

Opgave 6

(Maak eventueel eerst een tekening.)
Bereken met de stelling van Pythagoras dat de hoogte van het grondvlak `sqrt(8^2 - 3^2) = sqrt(55)` cm is.
De oppervlakte van het grondvlak is `1/2*6*sqrt(55) = 3 sqrt(55)` cm². Dus het volume is `1/3*3 sqrt(55)*13 = 13 sqrt(55)` cm³.

Opgave 7

Eerst werk je in `∆ ASB` . Omdat `AS` en `BS` even lang zijn levert `AS^2 + BS^2 = 20^2` op: `2*AS^2 = 400` . Dit betekent `AS = sqrt(200)` .
Nu naar `∆ AST` : `(sqrt(200))^2 + ST^2 = 20^2` . Dit geeft `TS = sqrt(200) = h` .

`133 1/3 sqrt(200)`

Opgave 8

Bereken eerst met de stelling van Pythagoras dat de lengte van de diagonalen van het grondvlak `10` cm is.
De hoogte van de piramide is `h = sqrt(13^2 - 5^2) = 12` . Dus het volume is `1/3*6*8*12 = 192` cm³.

Opgave 9

De inhoud van de kubus is `1000` cm³.
De inhoud van de cilinder is `π*5^2*10 = 250π ≈ 785,4` .
Er zit dus `21,5` % van de kubus buiten de cilinder.

Opgave 10

De inhoud van de kegel is `1/3*G*h = 1/3*100π*20 ≈ 2094` cm³.
De piramide heeft een vierkant grondvlak met zijden met een lengte van `sqrt(200)` cm en een hoogte van `20` cm. De inhoud is ongeveer `1333` cm³. Er zit dus `57,1` % van de kegel buiten de piramide.

Opgave 11

Inhoud figuur I: `2*8*4 = 128` .
Inhoud figuur II: `π*1,5^2*4 ≈ 28,27` .
Inhoud figuur III: `1/3*3*3*4 = 12` .
Inhoud figuur IV: `1/3*π*1,5^2*4 ≈ 9,42` .

Opgave 12

Noem het snijpunt van alle lichaamsdiagonalen `M` . Dan is `AM = BM = CM = DM = EM = FM = sqrt(32)` . Hiermee kun je de inhoud van een piramide berekenen: `1/3*8*8*sqrt(32) = 64/3 sqrt(32)` .
De inhoud van het octaëder is `2*64/3sqrt(32) = 128/3 sqrt(32)` .

Van elk grensvlak is de hoogte `sqrt(8^2 - 4^2) = sqrt(48)` .
De oppervlakte van het octaëder is `8*1/2*8*sqrt(48) = 32 sqrt(48)` .

Opgave 13

Je kunt de tent verdelen in een prisma (het middenstuk) en een piramide (de twee eindstukken tegen elkaar). De inhoud van het prisma is `1/2*2*1,5*2 = 3` m³. De inhoud van de piramide is `1/3*(sqrt(1^2 + 1^2))^2 * 1,5 = 1` m³. De totale inhoud van de tent is dus `4` m³.

Opgave 14

`π*3,65^2*10,4 ≈ 435,3` cm³. Dat is ongeveer `435` mL. Dus het kan.

`π*7,3*10,4 ≈ 238,5` cm².

Opgave 15

Het linker tuinhuisje:
`(3,00*1,90 + 1/2*3,00*0,35)*2,00 = 12,45` m³. Dat is ongeveer `12,5` m³.

Het rechter tuinhuisje:
`(2,00*1,80 - 1/2*1,00*0,90)*1,90 + 1/3*2,00*1,80*0,35 = 6,405` . Dat is ongeveer `6,4` m³.

Opgave 16

Het volume van een miljoen briefjes van € 100 is `147*82*0,05*10^6 = 602,7*10^6` mm³ en dat is `602700` cm³ en dat weegt ruim `723` kg. Het is `0,6072` m³.
Ik zou wel een auto nemen, een busje bijvoorbeeld.

Opgave 17

Het volume van het staal is `π*1,0^2*800 - π*0,8^2*800 ≈ 904,78` cm³.
Dus het staal van de stoel weegt ongeveer `6876` gram en dat is iets minder dan `6,9` kg.

Opgave 18

`1/3*π*r^2*13 = 125` geeft `r ≈ 3,03` cm. De diameter is ongeveer `6,1` cm.

De doos heeft een inhoud van ongeveer `1935` cm³, dus er zouden `1935 /125 ≈ 15` ijsjes in moeten gaan. In werkelijkheid gaan er maar `7` of `8` in de doos.

Opgave 19Graansilo

Graansilo

De graansilo bestaat uit een kegel met een hoogte van `1,40` en een diameter van `1,48` m en een cilinder met een hoogte van `3,00` m en dezelfde diameter. De inhoud van de kegel is ongeveer `0,803` m³. De inhoud van de cilinder is ongeveer `5,161` m³. Samen is dat iets minder dan `6` m³.

De cilindermantel heeft een oppervlakte van `π*1,48*3,00 ≈ 13,95` m². De bovencirkel heeft een oppervlakte van ongeveer `π*0,74^2 ≈ 1,72` m². De kegel is het `(π*1,48)/(π*2,80)` deel van een cirkel met een straal van `1,40` . De oppervlakte daarvan is ongeveer `3,25` m². De totale oppervlakte is daarom `~~ 18,92` m².

Opgave 20Zouttoren

Zouttoren

De toren bestaat uit een centrale balk van `2` bij `2` bij `20` m, vier kwart piramides met vierkante grondvlakken van `2` bij `2` en een hoogte van `20` m en vier halve balken van `2` bij `2` bij `20` m. De inhoud is dus `2*2*20 + 4*1/3*2*2*20 + 4*1/2*2*2*20 = 346 2/3` m³.

Opgave 21

`12 sqrt(126) ~~ 134,70` cm³.

Opgave 22

In totaal `943,6` m³.

`~~ 113` m³.

`6,40` m³.

verder | terug