Meetkundige berekeningen

Meetkundige berekeningen > Inhoud ruimtefiguur

Overzicht

1234567Inhoud ruimtefiguur

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Zie figuur. Het kan ook wel op andere manieren, maar dit ligt toch wel het meest voor de hand.

$12 \cdot 12 \cdot 18 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 \cdot 6 = 3024$ cm³.

Opgave V2

Omdat je deze boterham zo kunt verdelen dat er precies $18$ eenheidskubussen ontstaan en elke eenheidskubus heeft een inhoud van $1$ cm³.

Nee.

$18 \cdot 32 = 512$ cm³.

$I (prisma) = G \cdot h$ waarin $G$ de oppervlakte van het grondvlak voorstelt en $h$ de hoogte. Een brood is een voorbeeld van een prisma als alle plakken dezelfde vorm hebben en even dik zijn. $G$ is de oppervlakte van elke plak brood, $h$ is de "hoogte" (aantal plakken) van het brood.

Opgave 1

Figuur I: $I = 7 \cdot 4 = 28$ cm³.
Figuur II: $I = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6 = 36$ cm³.
Figuur III: $I = 12,875 \cdot 5 = 64,375$ cm³.

Opgave 2

Het is een figuur waarvan grondvlak en bovenvlak en elke dwarsdoorsnede evenwijdig met het grondvlak gelijk is.

$π \cdot 8^{2} = 64 π$ cm².

$64 π \cdot 20 = 1280 π$ cm³.

Opgave 3

Het grondvlak van het prisma kun je verdelen in een vierkant en een half vierkant, dus $G = 5 \cdot 5 + 0,5 \cdot 5 \cdot 5 = 37,5$ .

$π r^{2} \cdot 10 = 375$ geeft $π r^{2} = 37,5$ en $r^{2} = 37,5 / π$ . Dus is $r = \sqrt{37,5 / π} \approx 3,46$ .

Opgave 4

Het grondvlak van de piramide is groter dan dat van de kegel, dus die laatste moet wel hoger zijn.

$\frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 12 \cdot 10 = 480$ cm³.

$\frac{1}{3} \cdot π \cdot 6^{2} \cdot h = 480$

$h = \frac{480}{12 π} \approx 12,73$ cm. Dus de hoogte van de kegel is ongeveer $12,7$ cm.

Opgave 5

Eerst werk je in $∆ A S B$ . Omdat $A S$ en $B S$ even lang zijn levert $A S^{2} + B S^{2} = 20^{2}$ op: $2 \cdot A S^{2} = 400$ . Dit betekent $A S = \sqrt{200}$ .
Nu naar $∆ A S T$ : ${(\sqrt{200})}^{2} + S T^{2} = 20^{2}$ . Dit geeft $T S = \sqrt{200} = h$ .

$133 \frac{1}{3} \sqrt{200}$

Opgave 6

Bereken eerst met de stelling van Pythagoras dat de lengte van de diagonalen van het grondvlak $10$ cm is. De hoogte van de piramide is $h = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12$ . Dus het volume is $\frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 8 \cdot 12 = 192$ cm³.

Opgave 7

(Maak eventueel eerst even een tekening.)
Bereken met de stelling van Pythagoras dat de hoogte van het grondvlak $\sqrt{8^{2} - 3^{2}} = \sqrt{55}$ cm is. De oppervlakte van het grondvlak is $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{55} = 3 \sqrt{55}$ cm². Dus het volume is $\frac{1}{3} \cdot 3 \sqrt{55} \cdot 13 = 13 \sqrt{55}$ cm³.

Opgave 8

De inhoud van de kubus is $1000$ cm³.
De inhoud van de cilinder is $π \cdot 5^{2} \cdot 10 = 250 π \approx 785,4$ .
Er zit dus $21,5$ % van de kubus buiten de cilinder.

Opgave 9

De inhoud van de kegel is $\frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 100 π \cdot 20 \approx 2094$ cm³.
De piramide heeft een vierkant grondvlak met zijden met een lengte van $\sqrt{200}$ cm en een hoogte van $20$ cm. De inhoud is ongeveer $1333$ cm³. Er zit dus $57,1$ % van de kegel buiten de piramide.

Opgave 10

Inhoud figuur I: $2 \cdot 4 \cdot 8 = 64$ .
Inhoud figuur II: $π \cdot {1,5}^{2} \cdot 4 \approx 28,27$ .
Inhoud figuur III: $\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 = 12$ .
Inhoud figuur IV: $\frac{1}{3} \cdot π \cdot {1,5}^{2} \cdot 4 \approx 9,42$ .

Opgave 11

Noem het snijpunt van alle lichaamsdiagonalen $M$ . Dan is $A M = B M = C M = D M = E M = F M = \sqrt{32}$ . Hiermee kun je de inhoud van een piramide berekenen: $\frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sqrt{32} = \frac{64}{3} \sqrt{32}$ .
De inhoud van het octaëder is $2 \cdot \frac{64}{3} \sqrt{32} = \frac{128}{3} \sqrt{32}$ .

Van elk grensvlak is de hoogte $\sqrt{8^{2} - 4^{2}} = \sqrt{48}$ .
De oppervlakte van het octaëder is $8 \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{48} = 32 \sqrt{48}$ .

Opgave 12

Je kunt de tent verdelen in een prisma (het middenstuk) en een piramide (de twee eindstukken tegen elkaar). De inhoud van het prisma is $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1,5 \cdot 2 = 3$ m³. De inhoud van de piramide is $\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 1,5 = 1$ m³. De totale inhoud van de tent is dus $4$ m³.

Opgave 14

Het linker tuinhuisje:
$(3,00 \cdot 1,90 + \frac{1}{2} \cdot 3,00 \cdot 0,35) \cdot 2,00 = 12,45$ m³. Dat is ongeveer $12,5$ m³.

Het rechter tuinhuisje:
$(2,00 \cdot 1,80 - \frac{1}{2} \cdot 1,00 \cdot 0,90) \cdot 1,90 + \frac{1}{3} \cdot 2,00 \cdot 1,80 \cdot 0,35 = 6,405$ . Dat is ongeveer $6,4$ m³.

Opgave 15

Het volume van dit miljoen briefjes van € 100 is $147 \cdot 82 \cdot 0,05 \cdot 10^{6} = 602,7 \cdot 10^{6}$ mm³ en dat is $0,6027$ m³ en dat weegt ruim $723$ kg.
Ik zou wel een auto nemen, een busje bijvoorbeeld.

Opgave 13

$π \cdot {3,65}^{2} \cdot 10,4 \approx 435,3$ cm³. Dat is ongeveer $435$ mL. Dus het kan.

$π \cdot 7,3 \cdot 10,4 \approx 238,5$ cm².

Opgave 16

Het volume van het staal is $π \cdot {1,0}^{2} \cdot 800 - π \cdot {0,8}^{2} \cdot 800 \approx 904,78$ cm³, dus het staal van de stoel weegt ongeveer $6876$ gram en dat is iets minder dan $6,9$ kg.

Opgave 17

$\frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot 13 = 125$ geeft $r \approx 3,03$ cm. De diameter is ongeveer $6,1$ cm.

De doos heeft een inhoud van ongeveer $1935$ cm³, dus er zouden $1935 / 125 \approx 15$ ijsjes in moeten gaan. In werkelijkheid gaan er maar 7 of 8 in de doos.

Opgave 18Graansilo

Graansilo

De graansilo bestaat uit een kegel met een hoogte van $1,40$ en een diameter van $1,48$ m en een cilinder met een hoogte van $3,00$ m en dezelfde diameter. De inhoud van de kegel is ongeveer $0,803$ m³. De inhoud van de cilinder is ongeveer $5,161$ m³. Samen is dat iets minder dan $6$ m³.

De cilindermantel heeft een oppervlakte van $π \cdot 1,48 \cdot 3,00 \approx 13,95$ m². De bovencirkel heeft een oppervlakte van ongeveer $π \cdot {0,74}^{2} \approx 1,72$ m². De kegel is het $\frac{π \cdot 1,48}{π \cdot 2,80}$ deel van een cirkel met een straal van $1,40$ . De oppervlakte daarvan is ongeveer $3,25$ m². De totale oppervlakte is daarom $18,92$ m².

Opgave 19Zouttoren

Zouttoren

De toren bestaat uit een centrale balk van $2$ bij $2$ bij $20$ m, vier kwart piramides met vierkante grondvlakken van $2$ bij $2$ en een hoogte van $20$ m en vier halve balken van $2$ bij $2$ bij $20$ m. De inhoud is dus $2 \cdot 2 \cdot 20 + 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 20 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 20 = 346 \frac{2}{3}$ m³.

verder | terug