Meetkundige berekeningen > Totaalbeeld
1234567Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1
a

Zie de figuur.

b

`a^2 = 4^2 + 7^2 = 65` geeft `a = sqrt( 65 ) ≈ 8,06` .

c

`b^2 + 7^2 = 9^2 = 65` geeft `b^2 = 9^2 - 7^2 = 32` en dus `b = sqrt( 32 ) ≈ 5,66` .

Opgave 2
a

Doen.

b

Je berekent eerst de lengtes van alle drie de zijden: `A C = 10` , `A B = sqrt( 3^2 + 5^2 ) = sqrt( 34 )` en `B C = sqrt( 7^2 + 5^2 ) = sqrt( 74 )` .
Vervolgens controleer je of in `∆ A B C` de stelling van Pythagoras geldt: `(sqrt( 34 )) ^2 + (sqrt( 74 )) ^2 ≠ 10^2` . Dus de driehoek is niet rechthoekig.

c

Een scherpe hoek, want `(sqrt( 34 )) ^2 + (sqrt( 74 )) ^2 > 10^2` , dus zijde `A C` is te kort om hypotenusa te kunnen zijn.

Opgave 3
a

Bereken eerst de lengte van bijvoorbeeld `AS` . Dat kan op meerdere manieren, je vindt `AS=sqrt(8 )` . (Of misschien heb je `AS=1/2sqrt(32 )` gevonden; dat is hetzelfde.)
Vervolgens is `AT^2=AS^2+ST^2= ((sqrt(8 ))) ^2+6^2=44` en dus `AT=sqrt(44 )` .

b

Laat `N` het midden van `BS` zijn, dan is `∆ ANM` rechthoekig met rechthoekszijden `AN=sqrt(18 )` en `MN=3` . Dit geeft `AM=sqrt( (sqrt(18 ))^2+3^2)=sqrt(27 )` .

Opgave 4

Als `P` het midden van `AB` is, dan is `TP` de hoogte van een driehoekig grensvlak. Je berekent deze hoogte met de stelling van Pythagoras in bijvoorbeeld `∆PST` : `PT=sqrt(2^2+6^2)=sqrt(40 )` .
Vervolgens is de oppervlakte van de piramide `4 *1/2*4 *sqrt(40 )+4 *4 =16 +8 sqrt(40 )` .

Opgave 5

Lichaam I: `1/3 * 4 * 4 * 6 = 32`
Lichaam II: `3 * 4 * 5 = 60`
Lichaam III: `1/3 * π * 3^2 * 6 = 18 π`

Opgave 6

Prisma: `2 *4 *3 +2 *3 *5 +2 *4 *sqrt(26 )=54 +8 sqrt(26 )` .
Kegel: het grondvlak heeft een oppervlakte van `π*3^2=9 π` , de kegelmantel is het `(2 π*3) / (2 π*sqrt(45 )) =3/ (sqrt(45 ))` deel van een cirkel met straal `sqrt(45 )` en heeft dus een oppervlakte van `3 πsqrt(45 )` . De totale oppervlakte is `3 πsqrt(45 )+9 π` .

Opgave 7

Zie de figuur.

Opgave 8
a

Doen, de doorsnede is een vierhoek `P F G Q` waarbij `Q` het midden van `D H` is omdat `P F` en `Q G` evenwijdig moeten lopen.

b

De doorsnede wordt een rechthoek met `P Q = F G = 6` en `P F = G Q = sqrt( 45 )` .

c

`50` .

d

De oppervlakte wordt `50^2 = 2500` en de inhoud wordt `50^3 = 125000` keer zo groot.

e

De vorm blijft hetzelfde, de hoeken dus ook, het blijft een rechthoek. De lengtes worden met `50` vermenigvuldigd en dus wordt oppervlakte `50^2 = 2500` keer zo groot.

Opgave 9
a

Omdat `8^2+15^2=17^2` geldt in deze driehoek de stelling van Pythagoras en is hij dus rechthoekig met hypotenusa `PR` .

b

Scherphoekig, want `PR` is dan te kort om `∠Q` recht te maken.

Opgave 10

Gebruik de stelling van Pythagoras.

Vierkant bij driehoek 1: `5` .
Vierkant bij driehoek 2: `3` .
Gevraagde vierkant: `2` .

Opgave 11

`AC^2 = AB^2 + BC^2`
`AC^2 = 36 + 16` , dus `AC = sqrt 52` .

`DE^2 = DF^2 + EF^2`
`64 = 9 + EF^2` , dus `EF = sqrt 55` .

Opgave 12
a

Je hebt een hulplijn nodig, zie figuur. Bedenk zelf waarom de onderste zijde van het symmetrisch trapezium bestaat uit drie stukken van `6` , `7` en `6` m. De gevraagde hoogte is `sqrt(17^2-13^2)≈10,95` m.

b

De oppervlakte van de dwarsdoorsnede is `1/2*(19 +7 )*sqrt(120 )+1/2*7 *sqrt(120 )=16 1/2sqrt(120 )` m2.
De inhoud van de dijk is `16 1/2sqrt(120 )*12000 ≈2168981` . Er is dus ongeveer `2,2` miljoen m3 grond nodig.

Opgave 13
a

Zie figuur.

b

Voor de hoogte `h` van het schuine vlak, het dak geldt:
`4,5^2 + 3^2 = h^2` , dus `h = sqrt(29,25)` m.
Vervolgens kan de gevraagde schuine zijde `l` worden berekend:
`(sqrt(29,25))^2 + 3^2 = l^2` , dus `l = sqrt(38,25) ≈6,2` m.

c

De twee gelijkbenige driehoeken hebben samen een oppervlakte van `2 *1/2*6 *sqrt(29,25 )=6 sqrt(29,25 )` .
De twee symmetrische trapezia hebben samen een oppervlakte van `2 *1/2*(12 +6 )*sqrt(29,25 )=18 sqrt(29,25 )` .
Het gat voor de dakkapel heeft een oppervlakte van `3 *sqrt(1,5^2+2,25^2)=3 sqrt(7,3125 )` .
In totaal is dat ongeveer `122` m2 aan dakpannen.

Opgave 14
a

`sqrt(30^2+30^2)≈42,2` cm.

b

`π*0,30^2*4 - (sqrt(0,18 )) ^2*4 ≈0,41097335` m3 en dat is ongeveer `411` dm3.

c

`60 *60 *30 -1/3*60 *60 *30 =72000` cm3.

Opgave 15
a

Ongeveer `1000 /1100 ≈0,91` cm.

b

`1/3*π*2^2*10 ≈42` m3.

c

Dat volume is `(1/1100) ^3≈7,5 *10^(text(-)10)` deel van het volume van de echte spits.

Opgave 16
a

De volumevergrotingsfactor van de Eiffeltoren naar het schaalmodel is `0,00000005` , dus de lengtevergrotingsfactor is `root3 (0,00000005 )≈0,00368` . Dit schaalmodel zou ongeveer `1,19` m hoog moeten zijn.

b

`16500000 * (0,00368) ^2≈224` cm2.

Opgave 17Piramide van Cheops
Piramide van Cheops
a

`1/3*230^2*147 ≈2592100` m3.

b

Het gaat alleen om de oppervlakte van de vier opstaande driehoekige zijvlakken en die hebben een hoogte van `sqrt(115^2+147^2)≈186,6` m. De totale oppervlakte is dus ongeveer `4 *1/2*230 *186,6 ≈85854` m2.

c

`SZ=115 +17,3 =132,3` . Omdat de stok en zijn schaduw een schaalmodel van `∆ TSZ` vormen en de lengtevergrotingsfactor van de schaduw van de stok naar de lengte van `SZ` gelijk is aan `132,3/0,9=147` moet de hoogte van de piramide ook precies `147` keer de lengte van de stok ( `1` m) zijn. Dus de opgegeven hoogte klopt.

Opgave 18Partytent
Partytent
a

Vier tenstokken van `2,80` m, vier tentstokken van `sqrt(1,4^2+1,4^2+0,4^2)≈2,02` en vier tentstokken van `sqrt(0,1^2+0,1^2+2,8^2)≈2.80` . Dat is in totaal ongeveer `30,50` m tentstok.

b

Vier gelijkbenige driehoek met een basis van `2,80` en een hoogte van `sqrt(1,4^2+0,4^2)≈1,46` . Elk van de vier grensvlakken die op de grond rusten bestaan uit een symmetrisch trapezium waaruit een iets kleiner symmetrisch trapezium is weggesneden. De hoogte van het grootste trapezium van zo'n grensvlak is `sqrt(2,8^2+0,1^2)≈2,80` , de hoogte van het kleinste trapezium is dus `2,60` m.
De vier gelijkbenige driehoeken hebben samen een oppervlakte van `4 *1/2*2,80 *1,46 =8,176` m2. De vier grensvlakken die op de grond rusten hebben samen een oppervlakte van `4 *1/2*(3 +2,80 )*2,80 -4 *1/2*(3 +2,60 )*2,60 =3,36` m2. In totaal dus ongeveer `11,54` m2 tentdoek.

Opgave 19Pythagoreïsche tripels
Pythagoreïsche tripels
a

`5^2+12^2=13^2` .

b

Bijvoorbeeld `8` , `15` , `17` , maar natuurlijk ook alle veelvouden van `5` , `12` , `13` en `3` , `4` , `5` , enzovoorts.

c

Ga door haakjes uitwerken na dat `(m^2-n^2)^2+ (2 mn)^2= (m^2+n^2)^2` .

d

`5` , `12` , `13` en `16` , `30` , `34` .

e

Bijvoorbeeld: `7` , `24` , `25` en `9` , `40` , `41` .
(Leve de Wikipedia!)

verder | terug