Zie figuur.

`x^2 + 5x = x^2 + 2*2,5x = (x+2,5)^2 - 2,5^2 = (x+2,5)^2 - 6,25`

`(x-5)^2 - 25 = x^2 - 10x + 25 - 25 = x^2 - 10x`

`x^2 - 5x = x^2 + 2*text(-)2,5x = (x-2,5)^2 - 2,5^2 = (x-2,5)^2 - 6,25`

`f(x) = (x+6)^2 - 36`

`g(x) = (x-4)^2 - 1`

`h(x) = 2(x-3)^2 - 30`

`k(x) = text(-)(x-2)^2 + 7`

`m(x) = (x+2)^2 - 20`

`k(x) = 3(x+3)^2 - 33`

`f(x) = x^2 - 6 x + 1`
`f(x) = (x-3)^2 - 9 + 1`
`f(x) = (x-3)^2 - 8`

De top is `(3 , text(-)8)` .

`x~~0,17 vv x~~5,83`

`x = (text(-)17+sqrt(829))/6 vv x = (text(-)17-sqrt(829))/6`

Je vindt `x = (6 +sqrt(32))/2 ∨ x = (6-sqrt(32))/2` .
Ga na dat dit hetzelfde is als `x = 3 + 2sqrt(2) vv x = 3 - 2sqrt(2)` .

`x = 0 vv x = 4`

`x = 3/8+sqrt(137)/8 vv x = 3/8-sqrt(137)/8`

`3(x+17/6)^2 - 289/12 = 45` geeft `(x + 17/6)^2 = 829/36` , dus `x = text(-)17/6 +- sqrt(829/36)` .

Dit kun je schrijven als `x = (text(-)17 - sqrt(829))/6 vv x = (text(-)17 + sqrt(829))/6` .

`ax^2 + bx + c = 0`

Delen door `a` levert op:

`x^2 + b/a x + c/a = 0`

Kwadraat afsplitsen levert op:

`(x + b/(2a))^2 - (b/(2a))^2 + c/a = 0` en dan volgt

`(x + b/(2a))^2 = (b/(2a))^2 - c/a`

Kwadraat wegwerken en breuken gelijk maken:

`(x + b/(2a))^2 = (b^2)/(4a^2) - (4ac)/(4a^2)`

Samennemen:

`(x + b/(2a))^2 = (b^2 - 4ac)/(4 a^2)`

Vervolgens worteltrekken:

`x + b/(2a) = ±sqrt((b^2 - 4ac)/(4a^2))`

Herleiden:

`x = text(-)b/(2a) ± sqrt((b^2 - 4ac)/(4 a^2)) = (text(-)b)/(2a) ± (sqrt(b^2 - 4ac))/(2 a) = (text(-) b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2 a)`

`x = 6 - sqrt(66) vv x = 6 + sqrt(66) `

Met de abc-formule vind je `x = (12 ± sqrt(264))/2` . Ga na dat dit hetzelfde is als bij a.

abc-formule: `x = (1 - sqrt(13))/2 vv x = (1 + sqrt(13))/2` .

`D = text(-)167 lt 0` , dus geen oplossingen.

`x = 2 ∨ x = 4`

`D = text(-)199 lt 0` , dus geen oplossingen.

`x = 8 ∨ x = text(-)1`

`f(x) = 2(x-1,5)^2 - 2,5`

Top: `(1,5 ; text(-)2,5)`
Nulpunten: `x = 1,5 - sqrt(1,25) ~~ 0,38 vv x = 1,5 + sqrt(1,25) ~~ 2,62` .

abc-formule: `a = 2` , `b = text(-)6` en `c = 2` .

`D = 20`

ja

`x = (6-sqrt(20))/4 = 1,5-sqrt(1,25) ~~ 0,38 vv x = (6+sqrt(20))/4 = 1,5+sqrt(1,25) ~~ 2,62` ; ga na dat `sqrt(20) = sqrt(16)*text(-)sqrt(1,25)` .

Als je de nulpunten weet, dan weet je de `x` -coördinaten van de snijpunten van de grafiek van `f` met de `x` -as. Midden tussen deze snijpunten zit de symmetrieas `x=1,5` van de grafiek van `f` . Omdat de functiewaarde `f(1,5)=text(-)2,5` vind je als top `(1,5; text(-)2,5)` .

Top: `(text(-)1 , 2)` .

Top: `(text(-)1/2, 2 3/4)` .

`f(x)= (x+1/2k)^2 - 1/4 k^2 + 3`

`k = text(-)sqrt(8) vv k = sqrt(8)`

Nulpunten: `x = text(-)1 vv x = 5` .

Top: `(2, text(-)9)` .

`f(x) = text(-)4x - 5` is de formule van een lineaire functie.

`p = text(-)0,8`

`f(x) = x^2 + 8x - 20 = (x+4)^2 - 36`
Top: `(text(-)4 , text(-)36 )`

`(x+4)^2 - 36 = 0` geeft `x = text(-)10 ∨ x = 2`

`x = text(-)10 ∨x = 2`

`x^2+8 x-20 `	`=`	`(x+10)(x-2)=0`
`x+10`	`=`	`0 vv x-2=0`
`x`	`=`	`text(-)10 vv x=2`

`x ~~ text(-)2,41 vv x ~~ 5,41`

`x ~~ text(-)0,10 vv x ~~ text(-)29,90`

`x = 0 ∨x = 3`

`x = 3`

`D = text(-)15` , geen oplossingen.

`x = 4 ∨x = text(-)3`

`x ~~ 3,46 vv x ~~ text(-)3,46`

`D = text(-)59` , geen oplossingen.

`x ~~ 7,75 vv x ~~ text(-)7,75`

`k = text(-)1`

`k = 0`

`k = sqrt(20) vv k = text(-)sqrt(20)`

`k = 2 vv k = text(-)2`

Snijpunt `y` -as: `f(0) = 90` , dus `(0, 90)` .
Snijpunten `x` -as: `f(x) = text(-)0,5x^2 + x + 90 = 0` geeft `x^2 - 2x - 180 = 0` en dus `x = (2 +- sqrt(724))/2` . Dus `(text(-)12,45; 0)` en `(14,45; 0)` .

Symmetrieas `x = 2/2 = 1` , dus top `(1; 90,5)` .

De grafiek is een bergparabool, dus `f(1) = 90,5` is een maximum.

Nulpunten: `x = text(-)2 vv x = text(-)1`
Top: `(text(-)1 1/2, text(-)1/2)` .

`p = text(-)sqrt(4,5) vv p = 0 vv p = sqrt(4,5)`

nul keer

twee keer

`p = 1,5 - 1/16 sqrt(2144) ~~ text(-)1,39 vv p = 1,5 + 1/16 sqrt(2144) ~~ 4,39`

Er is ook één snijpunt als `p = 0` .

`0,0001x^2 - 0,1x + 54 = 34` geeft `0,0001x^2 - 0,1x + 20 = 0` .

Met de abc-formule: `x ~~ 276,4 vv x ~~ 723,6` .

Hij moet dus minimaal `277` m² en hoogstens `723` m² dakplaat bestellen.

Top van de kwadratische functie (dalparabool) bij `x = text(-)b/(2a) = (0,1)/(0,0002) = 500`

De minimale prijs zit bij `500` m² en bedraagt `29` euro per m².

Vul in: `q=12` en `l = 10` .

`M_(text(max)) = 1/8 * 12 * 10^2 = 150` kNm.

`text(-)6x^2 + 60x - 112,5 = 0` geeft met de abc-formule `x = (text(-)60 +- sqrt(900))/(text(-)12)` .

Dus `x=2,5 vv x=7,5` m.

Steunpunt 1 zit op `2,5` m vanaf oplegpunt `A` en steunpunt 2 op `7,5` m vanaf oplegpunt `A` .

`y = x - 4,9 (x^2)/50 = x - 0,098x^2`

`x - 0,098x^2 = 0` kun je oplossen met ontbinden in factoren, kwadraat afsplitsen, of de abc-formule.
Ontbinden is het handigst. Je vindt `x = 0 vv x ~~ 10,20` .

Na `10,20` m komt de kogel weer op de grond.

Functie: `y = text(-)0,098x^2 + x + 1,8` .

`text(-)0,098x^2 + x + 1,8 = 0` kun je oplossen met kwadraat afsplitsen, of de abc-formule.
Met de abc-formule: `x ~~ text(-)1,56 vv x ~~ 11,77` .

Na `11,77` m komt de kogel weer op de grond.

`x = text(-)3 ∨ x = 5` .

Geen oplossing.

`x = 3 vv x = text(-)3`

`x ~~ text(-)0,81 vv x ~~ 2,47`

`p = 0`

`(1 1/2; text(-)2 1/4)`

`x ~~ text(-)0,85 vv x ~~ 2,35`

`p = text(-)1 1/8`