Kwadratische functies > Domein en bereikAntwoorden van de opgaven
Van de formule `h = text(-)0,01(x-10 ) ^2+1,5` is de top `(10; 1,5)` en omdat het net op `12` m van de baseline zit, ligt de maximale waarde voor `h` op precies `2` m voor het net.
Het afslagpunt is `(0; 0,5)` en als je `x=0` in de formule invult, krijg je er ook `0,5` uit.
De bal komt op de grond als
`h=text(-)0,01(x-10 ) ^2+1,5=0`
.
Terugrekenen geeft
`x = 10 +- sqrt((0-1,5)/(text(-)0,01))`
.
De negatieve waarde vervalt, dus
`x = 10 + sqrt(150) ~~ 22,25`
m.
De waarden van
`x`
lopen vanaf
`x=0`
tot
`x=22,25`
.
De laagste waarde, het minimum, is `h=0` .
De hoogste waarde, het maximum, is `h=1,5` , de uitkomst bij de top.
De waarden van `h` lopen vanaf `0` tot en met `1,5` .
Luchtweerstand en draaiing van de bal zijn van invloed op de baan.
| `text(-)0,01(x-10)^2 + 1,5` | `=` | `0` | |
| `(x-10)^2` | `=` | `150` | |
| `x` | `=` | `+-sqrt(150) + 10` |
`h` is minimaal `0` als de bal op de grond komt.
`h` is maximaal `1,5` , het hoogste punt van de baan.
Het bereik is daarom `[0; 1,5]` .
`h = text(-)0,01(x-10 ) ^2+1,5 = text(-)0,01(x^2 - 20x + 100) + 1,5 = text(-)0,01x^2 + 0,2x + 0,5` .
De top van de parabool is nu `(12 ; 3,5 )` , dus de maximale hoogte is `3,5` .
`text(-)0,03(x - 12)^2 + 3,5 = 0` geeft `(x - 12)^2 = 116 2/3` en dus `x = 12 +- sqrt(116 2/3)` .
`12 + sqrt(116 2/3) ~~ 22,8` m, dus de bal is weer ruim binnen de lijnen.
Domein `[0, 22,8]` .
Bereik `[0; 3,5]` m.
`f(x)=0` geeft `x^4 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2)=0` .
Nulpunten: `(text(-)2 , 0 )` , `(0 , 0 )` en `(2 , 0 )` .
Nu is `f(text(-)3 = text(-)15` en `f(3) = 15` .
Bij dit domein is het bereik `[text(-)15, 15]` .
De
`x`
-waarden beginnen bij
`x=0`
omdat de
`y`
-as langs de linker toren loopt.
Bij de top, dus halverwege de brug, geldt
`x=81`
. Dat betekent dat de brug tussen de toren doorloopt tot
`x=162`
. De boog zit daarom tussen
`x=0`
en
`x=162`
.
`y(0) = text(-)0,0084(0-81)^2 + 33 = text(-)22,1124`
`y = text(-)0,0084(x-81)^2 + 33 = 0` als `x = 81 +- sqrt(33/(0,0084))` .
Dat betekent `x ~~ 18,3 vv x ~~ 143,7` en daartussen zit ongeveer `125,4` m.
De top bereken je met
`f(text(-) b/(2a)) = f(20/(0,2)) = f(100) = text(-)200`
.
Dit is een dalparabool, dus de minimale
`y`
-waarde is
`text(-)200`
.
De maximale
`y`
-waarde is
`y(0)`
of
`y(150)`
. Reken beide uit.
De maximale
`y`
-waarde is
`800`
.
Venster: `[0,150]xx[text(-)200, 800]` .
`0,1x^2 - 20x + 800 = 0` geeft `x^2 - 200x + 8000 = 0` .
Met de abc-formule vind je: `x = (200 +- sqrt(8000))/2` .
De afstand tussen beide `x` -waarden is `sqrt(8000) ~~ 89` .
Gebruik de software of de GR naar keuze.
In drie decimalen nauwkeurig vind je `(0, 0)` , `(0,451; 0,631)` en `(2,215; text(-)2,113)` .
Venster: `[0, 5]xx[text(-)3, 40]` .
`g(x) = 0,5x^3 - 3x^2 - 4x = 0,5x(x^2 - 6x - 8) = 0`
geeft
`x=0 vv x^2 - 6x - 8 = 0`
.
Met de abc-formule vind je
`x=0 vv x = (6 +- sqrt(68))/2`
, dus
`x=0 vv x~~text(-)1,12 vv x~~7,12`
.
(Dit kan ook meteen al met behulp van software.)
`g(text(-)2) = text(-)8` geeft minimale `y` -waarde van `text(-)8` .
Maximum van `1,21` voor `x~~text(-)0,58` .
Minimum van `text(-)33,21` voor `x~~4,58` .
`g(8) = 32` geeft maximale `y` -waarde van `32` .
`text(B)_g ~~ [text(-)33,21; 32]` .
Venster: `[text(-)2, 8]xx[text(-)34, 32]` .
Top `(50, 10)` , betekent een minimale `y` -waarde van `10` .
Domein: `[0, 100]` .
`y(0) = 100` , dus het bereik is `[10, 100]` .
Venster: `[0,100]xx[10, 100]` .
Bijvoorbeeld venster: `[0,100]xx[text(-)5, 100]` .
`g(x) = x^3 - 4x = 0` geeft `x(x^2 - 4)=0` en `x=0 vv x=+-2` .
`g(text(-)3) = text(-)15` en `g(3) = 15` .
Met behulp van software vind je een maximum van ongeveer `3,08` bij `x~~text(-)1,15` en een minimum van ongeveer `text(-)3,08` bij `x~~1,15` .
Het bereik wordt `[text(-)3, 3]xx[text(-)15, 15]` .
Top bij `x = text(-) (0,6)/(2*text(-)0,06) = 5` geeft: `h(5)=4` .
Los op: `h(x)=3,05` .
`text(-)0,06x^2 + 0,6x + 2,5 = 3,05` geeft `x^2 - 10x + 9,1666... = 0` .
Met de abc-formule vind je `x = (10 + sqrt(63,333...))/2 ~~ 8,98` (het negatieve antwoord vervalt.
De speler staat ongeveer `8,98` meter voor de basket.
Domein:
`text(D)_h = [0; 8,98]`
.
Bereik:
`text(D)_h = [2,5; 4]`
.
`W(2,5)=53,125` . De winst is dan € 53125,00.
Plot de grafiek en de lijn `y=100875` . Een productie van `3500` .
Gebruik de mogelijkheden van je software. Bij een productie van `7000` is er een maximale winst van € 205000,00.
`y(0) = 0` .
Nu is: `y(x) = 1,5 + 0,034920... * x - 0,0000545... * x^2 = 0` .
Deze vergelijking kun je met de abc-formule oplossen.
Je vindt: `x ~~ text(-)40,4 vv x = 681,0` .
Dus na `681` m.
De maximale hoogte zit bij `x = (0,034920...)/(2*0,0000545...) ~~ 320,4` m.
Je vindt: `y(320,4) ~~ 11,2` m.
`x = 2 vv x = 4`
Het bereik is `text(B)_f = [text(-)2, 16]` .
Binnen `[0, 5]xx[text(-)2, 16]` .
`x = 2 vv x = 4`
Het bereik is `text(B)_g = [text(-)5,6; 11,23]` .
Binnen `[text(-)7, 2]xx[text(-)5,6; 11,23]` .