De groeifactor is `0,8 lt 1` .
Je kunt de grafiek bekijken met GeoGebra of een grafische rekenmachine, of zelf een tabel maken. Na ongeveer `3` seconden is de waterhoogte gehalveerd.
De grafiek heeft een horizontale asymptoot `H=0` . Alle functiewaarden zijn positief, dus blijven net boven `0` , ook als `t` heel groot wordt.
De groeifactor wordt dan groter dan `0,8` (maar blijft wel kleiner dan `1` ). De vloeistof stroomt immers langzamer weg dan water, dus er de vloeistofhoogte per tijdseenheid verandert minder.
`f(x) = 2^x` ; geen nulpunten; `y = 0` is de horizontale asymptoot; de grafiek is toenemend stijgend.
`f(x) = 1^x` ; geen nulpunten; geen asymptoot, omdat `1^x = 1` voor elke `x` .
`f(x) = 0,5^x` ; geen nulpunten; `y = 0` is de horizontale asymptoot; de grafiek is afnemend dalend.
`f(x) = 2 *1,5^x` ; geen nulpunten; `y = 0` is de horizontale asymptoot; de grafiek is toenemend stijgend.
`f(x) = text(-)2 *1,5^x` ; geen nulpunten; `y = 0` is de horizontale asymptoot; de grafiek is toenemend dalend.
Er geldt:
Als `g gt 1` is de grafiek voortdurend toenemend dalend.
Als `g=1` is de grafiek constant.
Als `0 lt g lt 1` is de grafiek voortdurend afnemend stijgend.
Er zijn geen nulpunten, de `x` -as is een horizontale asymptoot.
Er zijn geen extremen.
`f_1 (x) = 3*2^x+1` , ontstaat door eerst te vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as met `3` en daarna te verschuiven met `1` in de `y` -richting.
`f_2 (x) = 3 * (1/2)^x - 1` ; de grafiek van de functie ontstaat uit de grafiek van `y = (1/2)^x` door te vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as met `3` en door de translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `x` -as.
`f_3 (x) = text(-)10*1,5^x + 100` ontstaat door te vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as met `text(-)10` en te verschuiven met `100` in de `y` -richting.
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)5 , 8]xx[text(-)10 , 150]` .
`f(x) = 3 * (1/4)^x - 12`
De grafiek van `f` ontstaat uit die van `y = (1/4)^x` door eerst te vermenigvuldigen met `3` ten opzichte van de `x` -as en daarna een translatie van `text(-)12` ten opzichte van de `x` -as toe te passen.
Dit kan met een grafische rekenmachine of met GeoGebra. Je vindt: `(text(-)1, 0)` .
`3 * (1/4)^x - 12 ` | `=` | ` 0` | |
`(1/4)^x ` | `=` | ` 4` | |
`4^(text(-)x)` | `=` | `4^1` | |
`x ` | `=` | `text(-)1` |
De groeifactor van B is groter dan die van A.
Voer in (GeoGebra of de GR):
`y = 750*1.025^x`
en
`y = 620*1.031^x`
.
Venster bijvoorbeeld:
`[0, 50] xx [0, 2500]`
.
Voor het snijpunt geldt
`x = 32,6138...`
.
`B(8)~~791,518` , dus op 1 januari 2021 had stad C `791518` inwoners. Op 1 januari 2013 hadden ze `791518*1,083^(text(-)8) ~~ 418247` inwoners.
Noem `C` het aantal inwoners in duizendtallen van stad C, dan is `C(t) = 418,247*1,083^t` , met `t = 0` op 1 januari 2013.
Voer in: `y = 750*1.025^x` en `y = 418.247*1.083^x` .
Venster bijvoorbeeld: `[0, 20]xx [0, 1500]` .
De grafieken snijden elkaar bij `x ~~ 10,6` .
Dus in het jaar 2023 zijn de steden even groot.
Als er dagelijks `20` % minder is, blijft er `80` % over. Dus de groeifactor is `0,8` .
Voer in (GeoGebra of de GR):
`y = 40*0.8^x`
Venster bijvoorbeeld:
`[0, 50] xx [0, 40]`
.
Voer in:
`y = 1`
en bepaal het snijpunt van beide grafieken.
`t gt 16,53`
.
Verschuiving van `text(-)1` in de `x` -richting, dan met `2` vermenigvuldigen in de `y` -richting en ten slotte verschuiving van `text(-)1` in de `y` -richting.
`f(x) = 2*2^x*2 - 1` geeft `f(x) = 4*2^x - 1`
Met `4` vermenigvuldigen in de `y` -richting en dan verschuiving van `text(-)1` in de `y` -richting.
`(0, 3)`
`2 *2^ (x+1) -1 = 0` geeft `2^(x+1) = 1/2 = 2^(text(-)1)` , zodat `x = text(-)2` .
Grafiek: `x gt text(-)2` .
`4*3^x + 6 = 330` geeft `3^x = 81 = 3^4` en dus `x = 4` .
`sqrt(2)*(1/3)^(x+1) = 27 sqrt(6)`
geeft
`(3^(text(-)1))^(x+1) = 27sqrt(3) = 3^(3,5)`
.
Dit geeft
`3^(text(-)x-1) = 3^(3,5)`
en
`text(-)x-1 = 3,5`
zodat
`x=text(-)4,5`
De vergelijking wordt: `(1/3)^x = 1/4` en dat levert `x ~~ 1,2619` op.
Grafiek: `x le 1,26` .
`f(3) = 3281,25`
`f(text(-)5) = 2,1504`
`y = 0`
Voer in:
`y_1 = 210*2.5^x`
en
`y_2 = 1200`
Venster bijvoorbeeld:
`[0, 5]xx[0, 1500]`
.
Snijpunt bij `x ~~ 1,90` .
Los op `f(x) = 2345` en gebruik de grafiek: `x le 2,63`
`S(t) = 2000 * 0,95^t`
Een jaar voor 6 januari 2014 was de straling `2000 * 0,95^(text(-)12) ≈ 3701` Bq.
`2,5` jaar is `30` maanden na 6 januari 2014 was de straling `2000 * 0,95^(30) ≈ 429` Bq.
`text(B)_S = langle 0 , 942318]`
`2000*0,95^t = 1000`
geeft
`t ~~ 13,51`
.
Dus na een jaar en ongeveer anderhalve maand.
De straling is gehalveerd in februari 2015.
Eerst met `5` vermenigvuldigen in de `y` -richting en daarna een translatie van `text(-)60` in de `y` -richting.
`f(x) = 5*2^x - 60 = 0` geeft `2^x = 12` en (GeoGebra, Desmos, GR, of logaritme) `x~~3,6` .
`y = text(-)60`
`f(x) = 5*2^x-60 = 20` geeft `2^x = 16 = 2^4` , dus `x = 4` .
`2sqrt(2) = 2^1*2^(1/2) = 2^(3/2)`
`x = 1 1/2`
`4^x` | `=` | `(2^2)^x = 2^(2x)` | |
`8^(x+2)` | `=` | `(2^3)^(x+2) = 2^(3(x+2))` | |
`2^(2x)` | `=` | `2^(3(x+2))` | |
`2x` | `=` | `3x+6` | |
`x` | ` =` | `text(-)6` |
`9^(2x) = (3^2)^(2x) = 3^(4x)`
en
`sqrt(3) = 3^(1/2)`
, dus
`3^(4x) = 3^(1/2)`
.
Dit geeft
`4x = 1/2`
en
`x = 1/8`
.
`2^(2x-1) ` | `=` | `32 = 2^5` | |
`2x-1` | `=` | `5` | |
`2x` | `=` | `6` | |
`x` | `=` | `3` |
`2^(1/2 x+1)` | `=` | `4sqrt(2) = 2^2*2^(1/2) = 2^(2 1/2)` | |
`1/2 x + 1` | `=` | `2 1/2` | |
`1/2 x` | `=` | `1 1/2` | |
`x` | `=` | `3` |
`540 * 0,95^t` is dalend, dus `540 - 540*0,95^t` is stijgend.
`A = 540`
Het opnemen van het medicijn in het bloed gaat op den duur steeds langzamer.
`405 = 540 - 540*0,95^t`
Voer in:
`y_1 = 540 - 540*0.95^x`
en
`y_2 = 405`
.
Venster bijvoorbeeld:
`[0, 40]xx[0, 500]`
.
Snijpunt bij `x ~~ 27,03` , dus na `27` minuten.
`f(x) = 2^(x-2) - 3 = 2^x * 2^(text(-)2) - 3 = 1/4*2^x-3`
`a(x) = 2^x` met `1/4` vermenigvuldigen in de `y` -richting en translatie van `text(-)3` in de `y` -richting.
`g(x) = 4 *0,5^(x-3) - 1 = 4 * 0,5^x * 0,5^(text(-)3) - 1 = 32*0,5^x - 1` .
`b(x) = (1/2)^x` met `32` vermenigvuldigen in de `y` -richting en translatie van `text(-)1` in de `y` -richting.
`f(x)` | `=` | `text(-)2 7/8` | |
`1/4*2^x - 3` | `=` | `text(-)2 7/8` | |
`1/4*2^x` | `=` | `1/8` | |
`2^x` | `=` | `1/2` | |
`x` | `=` | `text(-)1` |
Voer in:
`y_1 = 4*0.5^(x-3)-1`
en
`y_2 = 1.5`
.
Venster bijvoorbeeld:
`[text(-)5, 10]xx[text(-)3, 3]`
.
Snijpunt bij `x ~~ 3,678` . Grafiek `x lt 3,67` .
`g(x) ge 1`
`f(text(-)1) = text(-)2 7/8`
en
`g(text(-)1) = 63`
.
Dus
`AB = 63 -text(-)2 7/8 = 65 7/8`
.
Voer in:
`y_1 = 2^(x-2)-3`
en
`y_2 = 4*0.5^(x-3)-1`
en
`y_3 = 5`
.
Venster bijvoorbeeld:
`[text(-)10, 10]xx[text(-)10, 10]`
.
Snijpunten bij `x = 5` en `x ~~ 2,415` , dus `CD ≈ 5 - 2,415 ≈ 2,585` .
`tau`
heeft de eenheid van tijd (dus s).
De betekenis ervan is de tijd dat de waterhoogte halveert.
`(1/2)^(1/3) ~~ 0,79`
`H(t) = 60*(1/2)^(t/6)` en de nieuwe groeifactor wordt `(1/2)^(1/6) ~~ 0,89` .
`H(0) = b*g^0 = 60` dus `b = 60` .
`H(10) = 60*g^(10) = 40` geeft `g^(10) = 2/3` , dus de nieuwe groeifactor wordt `(2/3)^(1/10) ~~ 0,96` .
Formule: `H(t) ~~ 60*0,96^t` .
Omdat elke `20` s het aantal bacteriën halveert is de groeifactor per minuut `(1/2)^3` .
Als het pasteurisatieproces begint (dus `t=0` ) dan zijn er `10^5` bacteriën.
De formule wordt `B(t) = 10^5 * ((1/2)^3)^t = 10^5*(1/2)^(3t)` .
`B(t) = 10^5*(1/2)^(2t)`
Met `text(-)3` vermenigvuldigen in de `y` -richting en daarna translatie van `5` in de `y` -richting.
Het grondtal is `1/2` en je vermenigvuldigt met het negatieve getal `text(-)3` .
`y = 5`
`text(B)_(f) = langle ←, 5 rangle`
`(text(-)0,74; 0)` .
`x le text(-)0,74` .
`g(x)= (1/2)^(x-1) + 2 = (1/2)^x * (1/2^(text(-)1)) + 2 = 2*(1/2)^x + 2` .
`text(B)_(f) = langle text(-)2 , → rangle` en `text(B)_(g) = langle2 , → rangle` .
`x le 2,15` .