`8^t = 6000`
geeft
`t = \ ^8log(6000) ≈ 4,184`
uur.
Dus na 4:11 uur.
`6 * 2^t = 60`
geeft
`2^t = 10`
en dus
`t = \ ^2log(10)`
.
Met de grafiek van
`y = 2^t`
(zie de applet) vind je
`t = \ ^2log(10) ~~ 3,32`
.
Het is de tijd waarin je telkens `10` keer zoveel krijgt.
`t = \ ^2log(3) ~~ 1,58` (gebruik weer de applet).
`t = \ ^2log(2) = 1` (heb je weer de applet gebruikt?).
`t = \ ^2log(16) = \ ^2log(2^4) = 4`
.
Dit is de verzestienvoudigingstijd van dit groeiproces.
`t = \ ^(1,5)log(2)~~1,71`
De verdrievoudigingstijd is
`\ ^(1,5)log(3)~~2,71`
jaar.
De verzesvoudigingstijd is
`\ ^(1,5)log(6)~~4,42`
jaar.
De verdubbelingstijd plus de verdrievoudigingstijd is hetzelfde als de verzesvoudigingstijd, dus `\ ^(1,5)log(2) + \ ^(1,5)log(3) = \ ^(1,5)log(6)` .
Als je twee keer verdubbeld, dan krijg je `2*2=2^2=4` keer zoveel.
Als je drie keer verdubbelt, dan krijg je `2*2*2=2^3=8` keer zoveel.
De verdubbelingstijd is
`t = \ ^(1,5)log(2) ~~ 1,71`
en de verviervoudigingstijd is
`t = \ ^(1,5)log(4) ~~ 3,42`
.
De verachtvoudigingstijd is
`t = \ ^(1,5)log(8) ~~ 5,13`
.
Je ziet
`\ ^(1,5)log(2) + \ ^(1,5)log(4) = \ ^(1,5)log(8)`
.
`\ ^(1,5)log(5) + \ ^(1,5)log(10) = \ ^(1,5)log(5*10) = \ ^(1,5)log(50)`
`\ ^(1,5)log(6) - \ ^(1,5)log(2) = \ ^(1,5)log(6/2) = \ ^(1,5)log(3)`
Als je vijf keer verdrievoudigt, dan krijgt je `3*3*3*3*3 = 3^5` keer zoveel.
Je kunt
`\ ^(1,5)log(2)`
berekenen met behulp van de grafieken van
`y_1 = 1,5^x`
en
`y_2 = 2`
. Je vindt dan
`\ ^(1,5)log(2) ~~ 1,71`
.
Je kunt
`(log(2))/(log(1,5))`
berekenen met de log-knop van je rekenmachine:
`(log(2))/(log(1,5)) ~~ 1,71`
.
`4 * 1,5^t = 100` geeft `1,5^t = 25` en dus `t = \ ^(1,5)log(25) = (log(25))/(log(1,5)) ~~ 7,94` .
Je moet oplossen: `43000 * 1,02^t = 100000` .
`43000 * 1,02^t` |
`=` |
`100000` |
|
`1,02^t` |
`=` |
`2,325...` |
|
`t` |
`=` |
`\ ^(1,02)log(2,325...) = (log(2,325...))/(log(1,02)) ≈ 42,6` |
Dus voor het eerst in 2061.
`t=\ ^(1,02)log(2) = (log(2))/(log(1,02)) ≈ 35,00` , dus dat is precies `35` jaar en `0` maanden.
De groeifactor is `0,8` .
`100*0,8^t = 50` wordt `0,8^t=0,5` en `t=\ ^(0,8)log(0,5) = (log(0,5))/(log(0,8)) = 3,106...`
Na
`3,1`
dagen is de hoeveelheid nog nét niet gehalveerd.
Na vier dagen is de hoeveelheid gehalveerd.
Bij deze exponentiële groei hoort een groeifactor van `1,5` .
`\ ^(1,5)log(2)`
is de verdubbelingstijd en
`\ ^(1,5)log(6)`
is de verzesvoudigingstijd.
Als je eerst de hoeveelheid met
`2`
en vervolgens met
`6`
vermenigvuldigt, heb je de hoeveelheid met
`2*6 = 12`
vermenigvuldigd.
`\ ^(1,5)log(2)`
is de verdubbelingstijd.
Als je de verdubbelingstijd vier keer neemt, heb je vier keer met
`2`
vermenigvuldigd.
De hoeveelheid wordt dan met
`2*2*2*2 = 2^4 = 16`
vermenigvuldigd.
`4 + 3 = 7` is waar.
`4 - 3*1 = 1` is waar.
`1 + 2 = 4` is niet waar.
`3`
`3`
`\ ^2log(112)`
`\ ^2log(3)`
`10^(log(1,3))=1,3` en daarmee krijg je `H_A(t) = 160 * (10^(log(1,3)))^t = 160*10^(log(1,3)*t) ~~ 160*10^(0,114t)`
`10^(log(1,4))=1,4` en daarmee krijg je `H_B(t) = 120 * (10^(log(1,4)))^t = 120*10^(log(1,4)*t) ~~ 120*10^(0,146t)`
Gebruik de vorm waarin beide functies hetzelfde grondtal
`10`
hebben:
`120*10^(0,146t) = 160*10^(0,114t)`
.
Beide zijden delen door
`120`
en daarna door
`10^(0,114t)`
geeft:
`10^(0,146t-0,114t) = 160/120 = 1,333...`
.
Dus krijg je
`10^(0,032t)=1,333...`
zodat
`0,032t = log(1,333...)`
en
`t ~~ 3,90`
.
`500 * 1,5^x = 6000` geeft `1,5^x = 12` . En dus: `x = \ ^(1,5)log(12) = (log(12))/(log(1,5)) ≈ 6,1` .
`0,5 * 10^x = 2000` geeft `10^x = 4000` . Hieruit volgt: `x = log(4000) ≈ 3,6`
`1500 * 0,95^t = 100` geeft `0,95^t = 0,0666...` Hieruit volgt: `t=\ ^(0,95)log(0,0666...) = (log(0,0666...))/(log(0,95)) ≈ 52,8`
`t = \ ^3log(2) = (log(2))/(log(3)) ≈ 0,63`
uur.
Na ongeveer
`38`
minuten heeft de kolonie zich verdubbeld.
`log(5) + log(20) = log(5 *20) = log(100) = 2`
`\ ^5log(100) - \ ^5log(4) = \ ^5log(100 /4) = \ ^5log(25) = 2`
`2*\ ^6log(3) + \ ^6log(4) = \ ^6log(3^2*4) = \ ^6log(36) = 2`
`\ ^(1/3) log(45) -\ ^(1/3) log(5) = \ ^(1/3) log(45 /5) = \ ^(1/3) log(9) = (log(9))/(log(1/3)) = text(-)2`
`T = \ ^(0,92)log(1/3) ≈ 13,175` . Dus ongeveer `13` uur.
`800 → 400 → 200 → 100` , `3` keer halfwaardetijd, dus `3*15 = 45` uur.
`g^15 = 0,5` , dus `g = 0,5^(1/15) ≈ 0,9548` .
Formule: `N(t) = 800 *0,9548^t` .
Omwerken naar standaard grondtal `10` : `N(t) = 800 *0,9548^t = 800*(10^(log(0,9548)))^t ~~ 800*10^(text(-)0,0201t)` .
`t = \ ^(0,9548)log(0,2) ≈ 34,8` uur.
Ongeveer `34` uur en `3` kwartier.
`R = 0,67*log(1,2*10^19) - 3,21 ~~ 9,6`
`R = 8`
geeft
`8,1 = 0,67*log(E) - 3,21 rArr 0,67*log(E) = 11,31 rArr log(E) = (11,31)/(0,67)`
,
dus
`E = 10^((11,31)/(0,67)) ~~ 7,59*10^16`
Joule.
`R = 8,2`
geeft
`8,2 = 0,67*log(E) - 3,21 rArr 0,67*log(E) = 11,41 rArr log(E) = (11,41)/(0,67)`
,
dus
`E = 10^((11,41)/(0,67)) ~~ 1,07*10^17`
Joule.
`R = 6`
geeft
`6 = 0,67*log(E) - 3,21 rArr 0,67*log(E) = 9,21 rArr log(E) = (9,21)/(0,67)`
,
dus
`E = 10^((9,21)/(0,67)) ~~ 5,58*10^13`
Joule.
Er komt dus
`(1,07*10^17)/(5,58*10^13) ~~ 1918`
keer zoveel energie vrij.
Per `2,1` s is de factor waarmee de spanning verandert (ontladingsfactor) `~~0,81` .
Elke stapverandering van
`2,1`
s betekent een ontladingsfactor van
`0,81`
Volt (zie ook antwoord bij vraag a.). Voor een ontlading van bijvoorbeeld
`24`
naar
`12`
Volt, berekenen we het aantal stappen als
volgt:
`24 rArr 12`
betekent
`(0,81)^t=0,5 rArr t=\ ^(0,81)log\ (0,5)=(log\ (0,5))/(log\ (0,81))~~3,29 rArr`
` t_(1/2) = 3,29*2,1 ~~ 6,91`
s.
De vraag is eigenlijk: hoe groot is ontladingsfactor bij een stapverandering van
`1`
s?
Ofwel:
`g^(2,1) = 0,81 rArr g = (0,81)^(1/(2,1)) ~~ 0,905`
, zodat
`U(t) = 24*(0,905)^t`
.
`(0,905)^t = (1/2)^(t/tau) rArr (0,905)^t = ((1/2)^(1/tau))^t`
dus
`(1/2)^(1/tau) = 0,905 rArr 1/tau = \ ^(1/2)log(0,905) = (log(0,905))/(log(1/2)) ~~
0,144 rArr tau = 1/(0,144) ~~ 6,94`
.
`x = \ ^2 log(30) ≈ 4,91`
`t = \ ^(0,98) log(0,761...) ≈ 13,46`
`\ ^2log(35)`
`1`
`\ ^(1/3)log(2187)`