Maak een tabel van `log(N)` voor `t=0, 1, 2, 3, 4, 5, ...` .

Maak een tabel van `N` voor `t=0, 1, 2, 3, 4, 5, ...` .

`log(K) = log(600 * 0,8^t) = log(600) + log(0,8^t) = log(600) + t * log(0,8)` .

Rechte lijn door `(0 ,log(600 )) ~~ (0; 2,8)` met richtingscoëfficiënt `log(0,8 ) ~~ text(-)0,10` .

Maak eerst een tabel van `K` als functie van `t` .

De grafiek wordt een dalende rechte lijn door `(0, 600)` en ongeveer `(8, 100)` .

De grafiek van `K(t)` wordt nu een rechte lijn door `(0 , 600 )` , `(1 , 480 )` , `(2 , 384 )` , enzovoorts.
`N(t)=a*g^t` door `(0,5 ; 8000 )` en `(6 , 400 )` geeft `a*g^(0,5)=8000` en `a*g^6=400` . Dit levert op `a=10500` en `g≈0,58` , dus `N(t)=10500 *0,58^t` .

Doen.

`N(t)=0` heeft geen oplossingen, de `t` -as is een horizontale asymptoot.

Maak eerst een tabel.

`log(N_4(t)) = log(400 - 300 * 0,75^t)` . Dit kan niet herleid worden tot een lineair verband tussen `N_4` en `t` .

`log(N) = log(20) + 1,5 * log(t)` geeft een rechte lijn door `(0, log(20))` met richtingscoëfficiënt `1,5` .

Je krijgt een rechte lijn door `(1, 20)` , `(9, 540)` , etc.

Op een logaritmische schaal komt het getal `0` niet voor, want er is geen getal waarvan de logaritme `0` is.

`log(K) = log(600 * t^(0,8)) = log(600) + log(t^(0,8)) = log(600) + 0,8 log(t)` .

Rechte lijn door `(1, 600)` , `(7, 2846)` etc.

Aan de machten van `10` op horizontale en verticale as.

Kleine honden zitten bij `(10^(1,1)` , `10^(2,4))` .

`log(P)≈2,41 -0,14 *log(m)` geeft `P=10^(2,4)*m^(text(-)0,14)` .
(Kan ook met behulp van twee afgelezen punten.)

`P≈131` passen per minuut.

Doen. Vergelijk jouw lijn met de in het voorbeeld gegeven lijn.

`N(t) = a * text(e)^(kt)` geeft dan `a * text(e)^(8k) = 10` en `a * text(e)^(21k) = 100` zodat `text(e)^(13k) = 100/10 = 10` en `k ~~ 0,18` . Vul je dit in één van beide vergelijkingen in, dan vind je `a ~~ 2,23` . Dus `N(t) ~~ 2,23 * text(e)^(0,18t)` . (Je kunt ook uitgaan van `N(t) = a * g^t` . Dan vind je `N(t) ~~ 2,23 * 1,19^t` .)

Maak een tabel bij de bij b gevonden functie op je grafische rekenmachine.

Omdat het metingen zijn die niet precies voldoen aan een exponentieel verband, maar alleen bij goede benadering.

`N(t) = 2,23 text(e)^(0,18t) > 1000` geeft `t = (ln(1000/(2,23)))/(0,18) ~~ 33,9` . Dus na `34` dagen.

Het aantal fruitvliegjes lijkt te gaan stabiliseren op ongeveer `350` .

Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine.
Stel de assen in op `[0, 60] xx [0, 400]` .

Het aantal fruitvliegjes nadert `N=350` , de horizontale asymptoot. Er is sprake van geremde exponentiële groei.

De gemakkelijkste manier is de afgeleide maken met GeoGebra, Desmos of een GR en het maximum bepalen met de grafiek. Je vindt `t ~~ 24,5` .

Doen, in beide gevallen liggen de punten redelijk op een rechte lijn.

De grafiek moet in ieder geval door `(1, 1)` .
Dat is zo omdat bij `T=1` is afgesproken dat `R=1` .

Het antwoord bij b betekent: `a = 1` . Neem je aan dat de grafiek ook door `(30, 165)` gaat dan wordt `165 = 30^b` en dus `b = (ln(165))/(ln(30)) ~~ 1,50` . Dus `T = R^(1,5)` .

`R = 38,4851` geeft volgens de formule `T ~~ 238,5` jaar.

Nu wordt `20,7 = 20 + 60 * g^(20)` en ook dit geeft `g ~~ 0,80` . Je krijgt dus hetzelfde functievoorschrift.

`T'(t) = 60 * ln(0,80) * 0,80^t` en dus is `T'(10) ~~ text(-)1,44` . De afkoelingssnelheid is ongeveer `1,44`  °C/min.

`T'(t) = 60 *ln(0,80)*0,80^t = text(-)10` geeft `t ~~ 1,31` .
Na ongeveer `1` minuut en `18` seconden.

Nee, er blijft altijd een zekere afkoeling bestaan, al zal die in de praktijk niet meer merkbaar zijn.

Neem twee punten uit de tabel, bijvoorbeeld `(2, 36)` en `(12, 255)` .

Bij `(2, 36)` krijg je `36 = 256/(1+b*g^2)` en dus `b*g^2 ~~ 6,111` .
Bij `(12, 255)` krijg je `255 = 256/(1+b*g^12)` en dus `b*g^12 ~~ 0,004` .

Dus `g^10 ~~ 6,417*10^(text(-)4)` en `g~~0,48` , zodat `b~~26,59` .

De formule wordt: `H(t) = 256/(1 + 26,59*0,48^t)` .

`H(t) rarr 256` als `t rarr oo` .

De gemakkelijkste manier is de afgeleide maken met GeoGebra, Desmos of een GR en daarin de juiste waarde van `t` kiezen.

Je kunt ook werken met de afgeleide: `H'(t) = (text(-)256)/((10^(text(-)0,32t + 1,43) + 1)^2) * 10^(text(-)0,32t + 1,43) * ln(10) * -0,32` .
Dus `H'(1) ~~ 12,6` is kleiner dan de gemiddelde groei in de tweede week omdat de groei dan nog steeds sneller toeneemt.

`H'(10) ~~ 3,1` is groter dan de gemiddelde groei in de tiende week omdat de groei dan steeds langzamer gaat.

`H'(t)` het grootst als `t ~~ 4,5` . Dit is op dag `4` .

Doen.

De grafiek is op dubbellogaritmisch papier bij benadering een rechte lijn.

Je vindt iets als `a≈59` en `a≈0,54` , dus `E≈59 *m^(0,54)` .

`≈4609` cal/km.

Afname `1,5` keer zo groot past niet bij een lineair proces. Afname neemt exponentieel toe, wat overblijft dus niet.

`1,0414^10 ~~ 1,5` en `3311 - 274 * 1,5 = 2900` .

In het jaar 2032.

`y'(t) = text(-)274 * ln(1,0414) * 1,0414^t` .
Nu is `y'(0) = text(-)274 * ln(1,0414) * 1` en `y'(10) = text(-)274 * ln(1,0414) * 1,5` , dus het klopt.

Er is sprake van een minteken omdat de hoeveelheid afneemt. De afnamesnelheid is recht evenredig met de hoeveelheid.

`G'(x) = 100 * text(e)^(text(-)0,2x) *text(-)0,2 = text(-)0,2 * G(x)` .

`G(6) = 100 * text(e)^(text(-)0,2 * 6) ~~ 30` .
Dus `30` % van het graan is nog niet uit het stro geschud.

Hoe groter `k` , hoe meer graan er uit het stro wordt gehaald, vandaar die naam.
`v = 2` geeft `k = 0,5` .
`G(6) = 100 * text(e)^(text(-)0,5 * 6) ~~ 5` .
Dus `5` % van het graan is nog niet uit het stro geschud.

Dan moet `G(6) = 0` en dat kan niet al wordt `k` nog zo groot.

De grafiek bij deze tabel is op dubbellogaritmisch papier bij benadering een rechte lijn door `(63,5 ;1,65 )` en `(225,0 ;3,00 )` .

`a ~~ 0,47` en `A≈0,24` .

`N(t) ~~ 5000 * text(e)^(text(-)0,05t)` en `G(t) = 0,60 - 0,54 * text(e)^(text(-)0,21t)` .

`T(t) = 3000text(e)^(text(-)0,05t) - 2700text(e)^(text(-)0,26t)` .

Het totale gewicht aan forellen is maximaal na ongeveer `7,35` maanden.