De totale kosten zijn `0,06a+250` , dus de kosten per kopie zijn `(0,06a+250)/a=0,06+250/a` .
Dit geeft de formule `K=0,06+250/a` .
Als `a` heel groot wordt, wordt `250/a` heel klein. Het zal dan dus niet meer veel uitmaken ten opzichte van de `6` cent.
`K` is volgens de formule onbegrensd. Hoe dichter `a` bij `0` komt hoe groter `K` . Maar `a=0` betekent hier dat de school alleen de huurkosten van de machine moet betalen en bijvoorbeeld `a=0,1` kan niet.
`K ( 10000 ) = 200/10000 + 0,075 = 0,095`
De kosten zijn
`9,5`
eurocent per kopie.
`K ( 1000000 ) = 200/1000000 + 0,075 ~~ 0,075`
.
Dat is
`7,5`
eurocent per kopie.
De grafiek van `K` benadert `0,075` bij hele grote waarden van `a` , dus de horizontale asymptoot is `y = 0,075` .
€ 200,08
Delen door
`0`
kan niet. Dus
`x+2`
kan geen
`0`
zijn, dus
`x`
kan geen
`text(-)2`
zijn.
De verticale asymptoot is dus:
`x = text(-)2`
.
`f ( 1000 ) = 4/ (1000 + 2) ~~0,0`
Dus de functiewaarden benaderen het getal `0` .
`f ( text(-)1000 ) = 4/ (text(-)1000 + 2) ~~0,0`
Dus de functiewaarden benaderen het getal `0` .
De functiewaarden naderen het getal
`0`
.
De asymptoot is dus
`y = 0`
.
`x`
kan alles behalve
`text(-)2`
zijn, dus:
`text(D)_(f) = ⟨ ← , text(-)2 ⟩ ∪ ⟨ text(-)2 , → ⟩`
`y`
kan alles behalve
`0`
zijn, dus:
`text(B)_(f) = ⟨ ← , 0 ⟩ ∪ ⟨ 0 , → ⟩`
Voer in: Y1=4/X+2
Venster bijvoorbeeld:
`[text(-)10, 10]xx[10, 10]`
.
`x=0`
Je ziet dat in de tabel omdat er bij X=0 ERROR of iets dergelijks staat.
`2`
Ook `2` .
`y=2`
`text(D)_(f)=⟨←, 0 ⟩∪⟨0 , →⟩` en `text(B)_(f)=⟨←, 2 ⟩∪⟨2 , →⟩` .
Je krijgt met de standaardinstellingen meestal de grafiek niet goed in beeld, hij lijkt soms niet op een bergparabool.
Om te bepalen welke instelling voor `x` geschikt is.
Voer in GeoGebra, Desmos, of de GR in: Y1=-0.005X^2+X en maak een tabel met stapgrootte bijvoorbeeld `10` .
Venster bijvoorbeeld: `[0 , 200 ]xx[0 , 50 ]` .
`f(x)=100 x(x-10 ) (x-20 ) ^2 = 0` geeft `x=0 vv x=10 vv x=20` .
Er is geen breuk met een variabele in de noemer.
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)10 , 30 ]xx[text(-)750000 , 250000 ]` .
min.
`f(3,6 )≈text(-)619684`
max.
`f(13,9 )≈201716`
min.
`f(20 )=0`
`text(B)_(f)=[text(-)619684 ,→⟩`
Je wilt bij het plotten de nulpunten en asymptoten in beeld brengen.
Venster: standaard.
Er is een horizontale asymptoot bij
`y=2`
en twee verticale asymptoten bij
`x=text(-)4`
en
`x=4`
.
Er is een lokale top met coördinaten
`(0; text(-)0,25)`
.
`f` bestaat voor alle `x` -waarden behalve de verticale asymptoten, oftewel `text(D)_(f)=(:larr, text(-)4:) uu (:text(-)4, 4:) uu (:4, rarr:)` .
Alle `y` -waarden worden aangenomen, behalve het interval tussen de lokale top en de horizontale asymptoot, oftewel, `text(B)_(f)=(:larr; text(-)0,25] uu (:2, rarr:)` .
`1 + x^2 > 0`
Je krijgt een verticale asymptoot als de noemer van de breuk `0` kan worden.
`1 + x^2` wordt echter nooit `0` , omdat `x^2` nooit kleiner dan `0` wordt.
`(4x)/(1+x^2) = 0` geeft `4x=0` en `x=0` .
`g ( 10000 ) = (4*10000) / (1 + 10000^2) ~~ 0,0`
`g ( text(-)10000 ) = (4*text(-)10000) / (1 + (text(-)10000)^2) ~~ 0,0`
Bij hele hoge en lage waarden van `x` benaderen de functiewaarden het getal `0` .
De horizontale asymptoot is dus: `y = 0` .
`text(D)_(g)=ℝ` en `text(B)_(g)=[text(-)2 , 2 ]` .
De noemer van de breuk mag geen `0` zijn, dus de verticale asymptoot bij `x = 0` .
`f ( 1000 ) = 4 - 4/1000 ~~ 4` en `f ( text(-)1000 ) = 4 - 4/(text(-)1000) ~~ 4`
Bij hoge en lage waarden van `x` benaderen de functiewaarden `4` , dus de horizontale asymptoot is `y = 4` .
`x`
kan alle waarden aannemen behalve
`0`
, dus
`text(D)_(f) = ⟨ ← , 0 ⟩ ∪ ⟨ 0 , → ⟩`
.
`y`
kan alle waarden aannemen behalve
`4`
, dus
`text(B)_(f) = ⟨ ← , 4 ⟩ ∪ ⟨ 4 , → ⟩`
.
De noemer van de breuk mag geen `0` zijn, dus de verticale asymptoot is de lijn `x = 0` .
`g ( 1000 ) = (4 - 1000) /1000 ~~text(-)1` en `g ( text(-)1000 ) = (4 - (text(-)1000)) /(text(-)1000) ~~text(-)1` .
Bij hoge en lage waarden van `x` benaderen de functiewaarden `text(-)1` , dus de horizontale asymptoot is `y =text(-)1` .
`x`
kan alle waarden aannemen behalve
`0`
, dus
`text(D)_(g) = ⟨ ← , 0 ⟩ ∪ ⟨ 0 , → ⟩`
.
`y`
kan alle waarden aannemen behalve
`text(-)1`
, dus
`text(B)_(g) = ⟨ ← , text(-)1 ⟩ ∪ ⟨ text(-)1 , → ⟩`
.
De noemer van de breuk mag geen `0` zijn. `x^2 - 4 = 0` bij `x^2 = 4` , dus bij `x=text(-)2 vv x = 2` .
Dus zijn er verticale asymptoten bij `x = text(-)2` en `x = 2` .
`h ( 1000 ) = 1000/ (1000^2 - 4) ~~ 0`
`h ( text(-)1000 ) = (text(-)1000)/ ((text(-)1000)^2 - 4) ~~ 0`
Bij hoge en lage waarden van `x` benaderen de functiewaarden `0` , dus de horizontale asymptoot is `y = 0` .
`x`
kan alle waarden aannemen behalve
`text(-)2`
en
`2`
, dus
`text(D)_(h) = ⟨ ← , text(-) 2 ⟩ ∪ ⟨ text(-) 2 , 2 ⟩ ∪ ⟨ 2 , → ⟩`
.
`y`
kan alle waarden aannemen, ook
`y =0`
(bij
`x = 0`
), dus
`text(B)_(h) = RR`
.
De noemer van de breuk mag geen `0` zijn. `x^2 + 4 = 0` komt ook niet voor, want `x^2` is nooit negatief. Geen verticale asymptoten dus.
`k ( 1000) = 1000^2/ (1000^2 + 4) ~~1`
`k ( text(-)1000) = (text(-)1000)^2/ ((text(-)1000)^2 + 4) ~~1`
Bij hoge en lage waarden van `x` benaderen de functiewaarden `1` , dus de horizontale asymptoot is `y = 1` .
`x`
kan alle waarden aannemen, dus:
`text(D)_(k) = RR`
.
`y`
kan alle waarden tussen
`0`
en
`1`
aannemen behalve
`1`
, dus
`text(B)_(k) = [ 0 , 1:)`
.
De grafiek van `h` is een parabool.
Bepaal eerst de nulpunten: `text(-)0,1x^2+8x=0` .
Door ontbinding in factoren vind je
`x(text(-)0,1x+8)=0`
en dit geeft
`x=0 ∨x=80`
.
Omdat een parabool symmetrisch is, zit het maximum bij
`x=40`
.
`h(40)=160`
Het voorwerp komt maximaal `160` meter hoog.
`W = 330/ (15) = 22` en `W = 330/ (30000) = 0,011` .
`text(B)_(f)=[0,011 ; 22]`
Hoe hoger de frequentie, hoe hoger het geluid. Het is dus een heel hoog geluid.
De golflengte is `W = 330 / 120000 = 0,00275` meter.
Bassen
De golflengte is dan langer dan `W = 330 / 20 = 16,5` meter of langer.
`W = 330 / 1000000 ~~ 0`
`W` nadert dus tot `0` meter.
`f(x)=0` geeft `10x = 0` en `x=0` .
Verticale asymptoot:
`x=20`
.
Horizontale asymptoot:
`y=0`
.
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)30, 60]\times[text(-)5, 20]` .
Links van de oorsprong komt de grafiek onder de `x` -as. Rechts niet.
Min. `f(text(-)20)=text(-)0,125` .
`text(B)_(f)=[text(-)0,125,→⟩`
`TK = 100 + 0,1*120^2 = 1540` euro.
Kosten per exemplaar `= (TK)/q = 1540/120 = 12,83` euro.
`GTK = (TK)/q`
Hellingsgetal = `(TK - 0) / (q - 0) = (TK)/q ` .
`GTK=(TK)/q=(100+0,1q^2)/q=100/q+0,1q`
De noemer kan geen
`0`
zijn, dus
`q = 0`
heeft geen uitkomst.
Verticale asymptoot bij
`q = 0`
.
Als `q` heel groot of klein wordt, benaderen de functiewaarden niet een bepaald getal, dus er is geen horizontale asymptoot.
`q`
kan alle positieve waarden hebben behalve
`0`
.
`text(D)_(TK)=(: 0 , → :)`
`GTK`
kan alles vanaf het minimum
`6,32`
bij
`q=31,62`
hebben.
`text(B)_(TK)=[ 6,32 ; → ⟩`
`R(20)=15+(7,2)/(0,0785-0,0034*20)~~700,7` minuten.
`R(10)=15+(7,2)/(0,0785-0,0034*10)~~176,8` minuten.
De overlevingstijd is dus `(700,7)/(176,8)~~4,0` keer zo groot.
`5,0` uur staat gelijk aan `5*60=300` minuten.
`R(T)=300` geeft `(7,2)/(0,0785-0,0034T)=285` en `285(0,0785-0,0034T) = 7,2` .
Dit geeft `22,37-0,97T = 7,2` en `T~~16` .
Ongeveer `16` °C.
De verticale asymptoot zit bij de
`T`
waar in de functie
`R(T)`
door
`0`
wordt gedeeld.
Oftewel,
`0,0785-0,0034T=0`
.
Dit geeft
`T=(0,0785)/(0,0034)~~23,1`
°C.
Dit betekent dat in
water met een temperatuur boven de
`23,1`
°C de te water geraakte persoon niet in een levensbedreigende
situatie zal komen.
`Z ( 0 ) = 200 ( 1 - 10/ (0 + 10) + 100/( 0 + 10 )^2 ) = 200`
De noemers van de breuken kunnen geen `0` zijn. De noemers van beide breuken zijn `0` wanneer `t = text(-)10` . Dus zit er een verticale asymptoot bij `t = text(-)10` .
`Z ( 10000 ) = 200 ( 1 - 10/ (10000 + 10) + 100/(( 10000 + 10 )) ^2 ) ~~ 200 `
Als `t` heel groot wordt, benaderen de functiewaarden het getal `200` . Er zit dus een horizontale asymptoot bij `Z = 200` .
De horizontale asymptoot betekent dat het zuurstofgehalte langzaam terugkeert naar `200` , wanneer de storing erg lang duurt.
Voer in: Y1=200(1-10/(X+10)+100/(X+10)^2)
Venster bijvoorbeeld:
`[0, 100] xx [100, 250]`
.
Er is een minimum bij `t=10` .
Normale niveau: ` Z ( 0 ) = 200 ( 1 - 10/ (0 + 10) + 100/(( 0 + 10 )) ^2 ) = 200` .
`80` % daarvan is `200*0,8 = 160` .
`Z(t) = 160` oplossen met GR geeft snijpunten bij: `t~~3,82` en `t~~26,18` .
Hiertussen is het zuurstofgehalte ontoelaatbaar, dus `26,18-3,82 = 22,36` minuten.
`y = (100+1,6x)/(100+x)` .
Neem hele grote waarden van
`x`
, dan is
`y ~~ (1,6x)/(x) = 1,6`
.
De horizontale asymptoot is
`y=1,6`
.
De verklaring is, dat als je heel veel zwavelzuur toevoegt, de dichtheid van het mengsel steeds dichter komt bij de dichtheid van het zwavelzuur dat je gebruikt.
Bedenk dat je misschien wel `500` dm3 zwavelzuur wilt toevoegen om het mengsel zuur te maken, maar dat de dichtheid `y` nooit boven de `1,6` kg/dm3 komt.
Voer in Desmos, GeoGebra, of een grafische rekenmachine de functie bij a in.
Neem als venster
`[0, 500]xx[0, 2]`
.
Je voegt dan geen zwavelzuur toe, dus de dichtheid van het mengsel is de dichtheid van water.
Los op:
`1,2 = (100+1,6x)/(100+x)`
.
Algebraïsch gaat dat zo:
`1,2(100+x) = 100 + 1,6x`
geeft
`120 + 1,2x = 100 + 1,6x`
, ofwel
`0,4x = 20`
, zodat
`x = 20/(0,4) = 50`
. Je moet dus
`50`
dm3 zwavelzuur toevoegen.
`f(100 )≈2,0606` en `f(text(-)100 )≈1,9406` .
`x=text(-)2`
Voer in: Y1=(4+2X)/(X-1)
Venster: `[text(-)10, 10]xx[text(-)20, 20]` .
Verticale asymptoot: `x=1` en horizontale asymptoot: `y=2` .
`text(D)_(f)=⟨←, 1 ⟩∪⟨1 , →⟩` en `text(B)_(f)=⟨←, 2 ⟩∪⟨2 , →⟩` .
`x=0`
Er is geen verticale asymptoot, wel een horizontale: `y=0` .
Bijvoorbeeld `[text(-)10 , 10 ]xx[text(-)0,1 ; 0,2 ]` .
`text(B)_(f)=[0 ; 0,16 ]`
`10,9` °C.
`〈2 , →〉`
Verticale asymptoot:
`T=2`
Horizontale asymptoot:
`K=0`
`〈0 , →〉`