Functies en grafieken > TransformatiesAntwoorden van de opgaven
De grafiek van `f` wordt `4` eenheden naar rechts verschoven.
De grafiek van `f` wordt `3` eenheden naar boven verschoven.
De grafiek van `f` wordt met `1,5` vermenigvuldigd in de verticale richting.
De grafiek van `f` wordt met `1/3` vermenigvuldigd in de horizontale richting. (In dit geval kun je ook zeggen dat hij in de verticale richting wordt vermenigvuldigd, maar dan met `9` , want `(3*x)^2 = 9x^2` .)
De grafiek van `f` wordt `4` eenheden naar rechts verschoven, dan met `1,5` vermenigvuldigd in de verticale richting en tenslotte `3` omhoog geschoven.
Met een `0,5` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as.
`4` ten opzichte van de `y` -as verschuiven en `2` ten opzichte van de `x` -as verschuiven.
Met `text(-)1` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en dan `2` ten opzichte van de `x` -as verschuiven.
Met `1/3` vermenigvuldigen ten opzichte van de `y` -as en dan `2` ten opzichte van de `x` -as verschuiven.
Met `3` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as.
`text(-)4` ten opzichte van de `y` -as verschuiven en `2` ten opzichte van de `x` -as verschuiven.
Met `text(-)2` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en dan `5` ten opzichte van de `x` -as verschuiven.
Met `2` vermenigvuldigen ten opzichte van de `y` -as en dan `1` ten opzichte van de `x` -as verschuiven.
Door translatie van `text(-)2` ten opzichte van de `y` -as.
Door translatie van `2` ten opzichte van de `x` -as.
Overal waar in `f(x)` de variabele `x` staat, vul je `x+2` in. Denk hierbij aan de haakjes.
Je krijgt dan `g_1 (x)= (x+2 ) ^3-4 (x+2 )` .
`g_2 (x)=x^3-4 x+2`
Voer in: Y1=0.5X^3
Venster bijvoorbeeld:
`[text(-)5, 5] xx [text(-)10, 10]`
.
`g_1(x)=0,5(x+2)^3`
Voer in: Y2=0.5(X+2)^3
Translatie van `text(-)2` ten opzichte van de `y` -as.
`g_2(x)=1/2x^3 -2`
Voer in: Y3=0.5X^3-2
Translatie van `text(-)2` ten opzichte van de `x` -as.
Met `0,5` ten opzichte van de `y` -as vermenigvuldigen.
Met `2` ten opzichte van de `x` -as vermenigvuldigen.
`g_1 (x)=8 x^3-8 x`
`g_2 (x)=2 x^3-8 x`
Eigen antwoorden.
Voer in: Y1=0.5X^3
Venster bijvoorbeeld:
`[text(-)5, 5] xx [text(-)10, 10]`
.
`g_1(x)=1/2*(2x)^3`
Voer in: Y2=0.5*(2X)^3
Vermenigvuldiging ten opzichte van de
`y`
-as met
`0,5`
.
`g_2=x^3`
Voer in: Y3=X^3
Vermenigvuldiging ten opzichte van de
`x`
-as met
`2`
.
Vermenigvuldiging ten opzichte van de `x` -as met `2` en dan translatie van `3` ten opzichte van de `x` -as.
Translatie van `4` ten opzichte van de `y` -as en dan translatie van `2` ten opzichte van in de `x` -as.
Vermenigvuldiging ten opzichte van de `x` -as met `text(-)1` en dan translatie van `2` ten opzichte van de `x` -as.
Vermenigvuldiging met `1/3` ten opzichte van de `y` -as en dan translatie van `2` ten opzichte van de `x` -as.
Eerst met `1/3` vermenigvuldigen ten opzichte van de `y` -as, dan translatie van `1` ten opzichte van de `y` -as, vervolgens met `2` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en ten slotte translatie van `4` ten opzichte van de `x` -as.
`g(x)=text(-)2 *f(x)+1`
`g(x)=f(0,5 x)-3`
`g(x)=f(2(x-4))=f(2x-8)`
`g(x)=f(2 x-4)-2`
`y=x^4`
Eerst translatie van `5` ten opzichte van de `y` -as, dan met `0,25` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en tot slot een translatie van `text(-)10` ten opzichte van de `x` -as.
De top van `y=x^4` is `(0 , 0 )` en de top van `f` is na de twee translaties, minimum van de grafiek: `f(5 )=text(-)10` .
a: translatie van `text(-)3` ten opzichte van de `x` -as, dus `y=x^2-3` .
b: translatie van `3` ten opzichte van de `y` -as, dus `y=(x-3)^2` .
c: de functie gaat door `(1; 0,5)` , `(2, 2)` , `(3; 4,5)` enzovoort, hetgeen precies de helft van de `y` -waarden van de oorspronkelijke functie is; de transformatie is vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as met `0,5` , dus `y=0,5x^2` .
d: de functie is gespiegeld in de `x` -as, dus `y=text(-)x^2` .
e: translatie van `text(-)4` ten opzichte van de `x` -as en `2` ten opzichte van de `y` -as, dus `y=(x-2)^2-4` .
f: de functie is vermenigvuldigd met `text(-)0,5` ten opzichte van de `x` -as, getransleerd met `5` ten opzichte van de `x` -as en tenslotte getransleerd met `text(-)3` ten opzichte van de `y` -as, dus `y=text(-)0,5 (x+3)^2+5` .
Venster `[text(-)10 ,10 ]xx[text(-)10 ,10 ]` is standaard. Nu ga je `20` ten opzichte van de `y` -as verschuiven en `200` ten opzichte van de `x` -as verschuiven. Je krijgt dan `[10, 30]xx[190, 210]` .
Vermenigvuldiging ten opzichte van de `x` -as met `0,5` .
`y_2=0,5x^2`
Translatie van `4` ten opzichte van de `y` -as en `2` ten opzichte van de `x` -as.
`y_3=(x-4)^2+2`
Vermenigvuldiging ten opzichte van de `x` -as met `text(-)1` en translatie van `2` ten opzichte van de `x` -as.
`y_4=2-x^2`
Vermenigvuldiging ten opzichte van de `y` -as met `1/3` en dan translatie van `text(-)4` ten opzichte van de `x` -as.
`y_5=9x^2-4`
a: Translatie ten opzichte van de `x` -as met `4` eenheden geeft `y_2=x^3+4` .
b: Translatie ten opzichte van de `y` -as met `4` eenheden geeft `y_3= (x-4 ) ^3` .
c: Vermenigvuldiging ten opzichte van de `x` -as met factor `text(-)1/4` geeft `y_4=text(-)0,25 x^3` .
d: Hier zijn twee translaties uitgevoerd. Eerst ten opzichte van de `y` -as met `2` eenheden, daarna ten opzichte van de `x` -as met `text(-)4` eenheden. Dus `y_4= (x-2 )^3-4` .
Translatie van `2` ten opzichte van de `y` -as.
Vermenigvuldiging van `text(-)2` ten opzichte van de `x` -as.
Translatie van `text(-)2` ten opzichte van de `x` -as.
Vermenigvuldiging met `1/2` ten opzichte van de `y` -as en daarna translatie ten opzichte van de `x` -as met `text(-)1` .
De coördinaten van de top van `y=x^2` zijn `(0,0)` .
De grafiek van `f` ontstaat uit de grafiek van `y=x^2` door `1` naar links te verschuiven en `6` omhoog te verschuiven.
`x^2+bx+c=(x+1)^2+6` betekent `(x+1)^2+6=x^2+2x+7=x^2+bx+c` en dus `b=2` en `c=7` .
`y_1 = sqrt(x + 2) + 5`
`text(D)_(y_1) = [text(-)2, rarr:)`
`text(B)_(y_1) = [5, rarr:)`
`y_2 = 2sqrt(x - 3) -4`
`text(D)_(y_2) = [3, rarr:)`
`text(B)_(y_2) = [text(-)4, rarr:)`
.
`y_3 = sqrt(text(-)2x + 4) + 4`
`text(D)_(y_3) = (:larr, 2]`
`text(B)_(y_3) = [4, rarr:)`
`g(x)=x^2+2x-3=(x+1)^2-4` .
Translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `y` -as en `text(-)4` ten opzichte van de `x` -as.
`h(x)=2x^2-4x+7=2(x-1)^2+5` .
Vermenigvuldiging ten opzichte van de `x` -as met `2` en daarna translaties van `1` ten opzichte van de `y` -as en van `5` ten opzichte van de `x` -as.
Of eerst translatie van `1` ten opzichte van de `y` -as en van `2,5` ten opzichte van de `x` -as en daarna vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as met `2` .
Je kunt dit algebraïsch doen:
`y = (100+1,6x)/(100+x) = (1,6x + 160 - 60)/(x+100) = (1,6(x+100))/(x+100) - 60/(x+100) = 1,6 - 60/(x+100)` .
Maar je kunt ook even controleren dat beide functies dezelfde grafiek hebben.
Voer in Desmos, GeoGebra, of een grafische rekenmachine beide functies in.
Neem als venster
`[0, 500]xx[0, 2]`
.
Eerst een horizontale verschuiving van `text(-)100` , dat een verticale vermenigvuldiging met `text(-)60` en tenslotte een verticale verschuiving van `1,6` .
Die asymptoot zou door de horizontale verschuiving `x = text(-)100` zijn. Maar `x` kan hier helemaal geen negatieve waarden hebben.
Venster bijvoorbeeld: `[0, 25]xx[0, 5]` .
`y=text(-)0,02 (x-10 ) ^2+4 = 0` geeft `(x-10)^2 = 200` , dus `x = 10 +- sqrt(200)` .
Ongeveer `24,14` meter.
`y=text(-)0,02 (x-10 ) ^2+4 = 2` geeft `(x-10)^2 = 100` , dus `x = 0 vv x = 20` .
Na `20` meter.
Translatie van `3` ten opzichte van de `y` -as.
Met `1/2` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en dan `1` ten opzichte van de `x` -as transleren.
Met `1/3` vermenigvuldigen ten opzichte van de `y` -as.
`y=sqrt(x)`
Met `10` vermenigvuldigen ten opzichte van `x` -as en dan translatie van `50` ten opzichte van de `x` -as.
`[0 , 10 ]xx[50 , 100 ]`
`g(x)=text(-)0,5 (x-5 ) ^3+10`