In de
Luchtweerstand en draaiing van de bal zijn van invloed op de baan.
`0,5` | `=` | `a(0-10)^2+1,5` | |
`text(-)1` | `=` | `100a` | |
`a` | `=` | `text(-)0,01` |
`text(-)0,01(x-10) ^2+1,5 = 0` geeft `(x - 10)^2 = 150` , dus `x=10 - sqrt(150 ) vv x=10 + sqrt(150 )` .
Omdat `10 +sqrt(150 ) ~~22,25 lt 24` is de bal in.
De top van de parabool is nu
`(12 ; 3,5 )`
en de parabool gaat ook door het punt
`(2; 0,5 )`
.
De algemene formule is
`h(x) = a(x - 12)^2 + 3,5`
,
`(2; 0,5 )`
invullen:
`0,5 = a(2 - 12)^2 + 3,5`
geeft
`100a = text(-)3`
en
`a = text(-)0,03`
.
De formule wordt `h(x) = text(-)0,03(x - 12)^2 + 3,5` .
`text(-)0,03(x - 12)^2 + 3,5 = 0` geeft `(x - 12)^2 = 116 2/3` en dus `x = 12 +- sqrt(116 2/3)` .
`12 + sqrt(116 2/3) ~~ 22,8` m, dus de bal is weer ruim binnen de lijnen.
Begin met `y = ax^2 + bx + c` als algemene formule.
punt `(0, 6)` geeft: `6 = c`
punt `(2, 0)` geeft: `0 = 4a + 2b + c`
punt `(4, 0)` geeft: `0 = 16a + 4b + c`
De onderste twee vergelijkingen worden
`0 = 4a + 2b + 6`
en
`0 = 16a + 4b + 6`
.
Vermenigvuldig de eerste links en rechts met
`4`
.
Je vindt
`0 = 16a + 8b + 24`
.
Trek beide van elkaar af:
`0 = 4b + 18`
en dus
`b = text(-)4,5`
.
Hierbij hoort
`a = 12/16 = 0,75`
.
Het gevraagde functievoorschrift wordt `f(x) = 0,75x^2 - 4,5x + 6` .
Controle: `f(x)=0,75 (x-3 )^2 - 0,75 = 0,75(x^2 - 6x + 9) - 0,75 = 0,75x^2 - 4,5x + 6` .
De twee nulpunten zijn
`(2, 0)`
en
`(4, 0)`
, dus
`m=2`
en
`n=4`
.
Dit geeft
`f(x) = a(x-2)(x-4)`
.
Als je hierin
`(0, 6)`
invult, krijg je
`6 = a*text(-)2*text(-)4 = 8a`
en dus
`a=0,75`
.
Het functievoorschrift wordt
`f(x = 0,75(x-2)(x-4)`
.
Controle: `f(x) = 0,75(x-2)(x-4) = 0,75(x^2 - 6x + 8) = 0,75x^2 - 4,5x + 6` .
Methode zoals in het
De snijpunten met de `x` -as liggen op `x=text(-)2` en `x=4` , dus de top ligt op `x=1` . Dus `f(x)=a(x-1)^2+q` .
`(0 , 2 )` invullen geeft `a+q=2` .
`(4 , 0 )` invullen geeft `9 a+q=0` .
Uit deze twee vergelijkingen volgt `8 a=text(-)2` en dus `a=text(-)0,25` . En `q=2,25` . Het gevraagde voorschrift is `f(x)=text(-)0,25 (x-1 )^2+2,25` .
Andere methode:
Begin met
`f(x) = a(x+2)(x-4)`
vanwege twee gegeven nulpunten.
Vul het derde punt
`(0, 2)`
in en je vindt
`a = text(-)0,25`
en
`f(x) = text(-)0,25(x+2)(x-4)`
.
Omdat de punten
`(4, 3)`
en
`(6, 3)`
op gelijke hoogte liggen, ligt de top ligt op
`x = 5`
.
Dus de bijbehorende formule is
`y = a(x-5)^2+q`
.
`(0 , 2 )` invullen geeft `25a+q=2` .
`(4 , 3 )` invullen geeft `a+q=3` .
Uit deze twee vergelijkingen volgt
`24a=text(-)1`
en dus
`a=text(-)1/24 ~~ text(-)0,04`
.
En
`q=3 1/24 ~~ 3,04`
. De gevraagde formule is
`y ~~ text(-)0,04 (x-5)^2 + 3,04`
.
Maar je kunt ook beginnen met `f(x) = ax^2 + bx + c` en alle drie de punten invullen.
Ga na, dat je hetzelfde krijgt als in het voorbeeld.
Doen, zie het voorbeeld.
Je vindt niet precies de juiste parabool.
Het rekenwerk wordt veel ingewikkelder. (Maar het kan in principe wel!)
`f(0) = text(-)1 5/9` en `f(7) = 0` .
`x_(text(top)) = text(-)37/9 // text(-)10/9 = 3,7` en het maximum (bergparabool) is `f(3,7) = 6,05` .
Het gevraagde bereik is `[text(-)1 5/9; 6,05]` .
Oefen tot je dit goed begrijpt.
Begin met `y = ax^2 + bx + c` als algemene formule.
punt `(0, 1)` geeft: `1 = c`
punt `(10, 3)` geeft: `3 = 100a + 10b + c`
punt `(25, 0)` geeft: `0 = 625a + 25b + c`
De onderste twee vergelijkingen worden
`3 = 100a + 10b + 1`
en
`0 = 625a + 25b + 1`
.
Vermenigvuldig de eerste links en rechts met
`5`
en de tweede links en rechts met
`2`
.
Je vindt
`15 = 500a + 50b + 5`
en
`0 = 1250a + 50b + 2`
.
Trek ze van elkaar af:
`750a - 3 = text(-)15`
en dus
`a = text(-) 12/750 = text(-)0,016`
.
Hierbij hoort
`b = 0,36`
en
`c = 1`
.
De gevraagde vergelijking wordt `y = text(-)0,016x^2 + 0,36x + 1` .
De top ligt op
`x = text(-) (0,36)/(2*text(-)0,016) = 11,25`
.
De coördinaten zijn
`(11,25; 3,025)`
.
`f(x) = 0,5(x - 2)^2 - 5`
`0,5(x - 2)^2 - 5 = 0`
geeft
`x = 2 +- sqrt(10)`
.
Dus vind je
`(5,16; 0)`
en
`(text(-)1,16; 0)`
.
Het minimum is de functiewaarde
`f(2) = text(-)5`
.
Het bereik is dus
`[text(-)5, rarr rangle`
.
Als je de punten tekent in een assenstelsel, zie je dat de
`x`
-coördinaat van de top bij
`x=2`
ligt.
Dus
`f(x)=a(x-2)^2+q`
.
Grafiek door `(0,text(-)1)` geeft `4a+q=text(-)1` .
Grafiek door `(6, 5)` geeft `16a+q=5` .
Hieruit volgt: `a=0,5` en `q=text(-)3` .
Dus `f(x)=0,5(x-2) ^2-3` .
Ga uit van `f(x)=a(x+1)(x-4)` en vul de coördinaten van `P` in.
Je vindt: `f(x) = text(-)0,75(x+1)(x-4)` .
De symmetrieas is `x = (4 - text(-)1)/2 = 2,5` .
Het maximum is `f(2,5) = text(-)0,75*3,5*text(-)1,5 = 3,9375` .
Een bergparabool.
Ga uit van `f(x)=a(x-p)^2+q` . Omdat de symmetrieas `x=2` is, kun je dit direct invullen: `y=a(x-2)^2+q` .
`(1,9)` invullen: `9=a(1-2)^2+q` levert op: `9=a+q` geeft uitdrukking I
`(5,5)` invullen: `5=a(5-2)^2+q` levert op `5=9a+q` geeft uitdrukking II
Dus op basis van uitdrukking I vind je `q=9-a` en dit vul je in uitdrukking II in:
`5=9a+9-a` en dus `text(-)4=8a` levert `a=text(-)1/2` en `q=9 1/2` .
Het functievoorschrift wordt dan: `f(x)=text(-)1/2(x-2)^2+9 1/2 `
Top `(5 , 4 )` geeft: `h(x)=a (x-5 ) ^2+4` .
De grafiek gaat door het punt `(0 ; 2,5 )` : `h(0)=2,5` , dus `25 a+4 =2,5` en hieruit volgt `a=text(-)0,06` .
`h(x)=text(-)0,06 (x-5 ) ^2+4`
Los op: `h(x)=3,05` .
`text(-)0,06 (x-5 ) ^2+4 = 3,05` geeft `(x-5)^2 = 15,833...` en dus `x = 5 +- sqrt(15,833...)` .
`5 + sqrt(15,833...) ~~ 8,98` .
De speler staat ongeveer `8,98` meter voor de basket.
Domein:
`text(D)_h = [0; 8,98]`
.
Bereik:
`text(D)_h = [2,5; 4]`
.
`c=3`
Ga uit van `f(x)=ax^2+bx+3` en vul in:
`Q(2, 7)` : `7=a*2^2+b*2+3` ofwel `4a+2b+3=7`
`R(4, 12)` : `12=a*4^2+b*4+3` ofwel `16a+4b+3=12`
Los nu dit stelsel van vergelijkingen op met behulp van substitutie:
Uit de eerste vergelijking volgt: `2b=text(-)4a+4` en dus `4b=text(-)8a+8` en vul dit in de tweede vergelijking in: `16a+text(-8)a+8+3=12` en dit herleid je tot `8a+11=12` en dus `8a=1` en `a=1/8` . Bereken dan `b` terug via `4b=text(-)8*1/8+8` en dus `b=7/4` .
Je vindt dus `f(x)=1/8 x^2 + 7/4 x + 3`
`p=text(-3)1/8`
Begin met `y = f(x) = ax^2 + bx + c` en vul de gegevens in.
punt `(0, 0)` geeft: `0 = c`
punt `(30, 15)` geeft: `15 = 900a + 30b + c`
punt `(40, 5)` geeft: `5 = 1600a + 40b + c`
Hieruit volgt `c = 0` , `a = text(-) 3/80` en `b = 13/8 = 1 5/8` .
Dus `f(x) = text(-)3/80 x^2 + 1 5/8 x`
`text(-)3/80 x^2 + 1 5/8 x = 0`
geeft
`x = 43 1/3`
.
Dus in
`(43 1/3, 0)`
.
De maximale hoogte van de kogel is `f(21 2/3) = 845/48 = 17 29/48` .
`text(D)_f = [0, 43 1/3]`
.
`text(B)_f = [0, 17 29/48]`
.
`y(0) = 0` .
Nu is: `y(x) = 1,5 + 0,34920... * x - 0,0000545... * x^2 = 0` .
Deze vergelijking kun je met de abc-formule oplossen.
Je vindt: `x ~~ text(-)40,4 vv x = 681,0` .
Dus na `681` m.
`f(x)=0,15(x-15 )^2 - 3,75` .
`y = text(-)0,25 x^2 + 1,5 x + 4`
`g(3) = 6,25`
`(text(-)2, 0)` en `(8, 0)` .
`text(B)_g = [0; 6,25]`