Luchtweerstand en draaiing van de bal zijn van invloed op de baan.

`text(-)0,01(x-10) ^2+1,5 = 0` geeft `(x - 10)^2 = 150` , dus `x=10 - sqrt(150 ) vv x=10 + sqrt(150 )` .

Omdat `10 +sqrt(150 ) ~~22,25 lt 24` is de bal in.

De top van de parabool is nu `(12 ; 3,5 )` en de parabool gaat ook door het punt `(2; 0,5 )` .
De algemene formule is `h(x) = a(x - 12)^2 + 3,5` ,
`(2; 0,5 )` invullen: `0,5 = a(2 - 12)^2 + 3,5` geeft `100a = text(-)3` en `a = text(-)0,03` .

De formule wordt `h(x) = text(-)0,03(x - 12)^2 + 3,5` .

`text(-)0,03(x - 12)^2 + 3,5 = 0` geeft `(x - 12)^2 = 116 2/3` en dus `x = 12 +- sqrt(116 2/3)` .

`12 + sqrt(116 2/3) ~~ 22,8` m, dus de bal is weer ruim binnen de lijnen.

Begin met `y = ax^2 + bx + c` als algemene formule.

• punt `(0, 6)` geeft: `6 = c`

• punt `(2, 0)` geeft: `0 = 4a + 2b + c`

• punt `(4, 0)` geeft: `0 = 16a + 4b + c`

De onderste twee vergelijkingen worden `0 = 4a + 2b + 6` en `0 = 16a + 4b + 6` .
Vermenigvuldig de eerste links en rechts met `4` .
Je vindt `0 = 16a + 8b + 24` .
Trek beide van elkaar af: `0 = 4b + 18` en dus `b = text(-)4,5` .
Hierbij hoort `a = 12/16 = 0,75` .

Het gevraagde functievoorschrift wordt `f(x) = 0,75x^2 - 4,5x + 6` .

Controle: `f(x)=0,75 (x-3 )^2 - 0,75 = 0,75(x^2 - 6x + 9) - 0,75 = 0,75x^2 - 4,5x + 6` .

De twee nulpunten zijn `(2, 0)` en `(4, 0)` , dus `m=2` en `n=4` .
Dit geeft `f(x) = a(x-2)(x-4)` .
Als je hierin `(0, 6)` invult, krijg je `6 = a*text(-)2*text(-)4 = 8a` en dus `a=0,75` .
Het functievoorschrift wordt `f(x = 0,75(x-2)(x-4)` .

Controle: `f(x) = 0,75(x-2)(x-4) = 0,75(x^2 - 6x + 8) = 0,75x^2 - 4,5x + 6` .

Ga na, dat je hetzelfde krijgt als in het voorbeeld.

Doen, zie het voorbeeld.

Je vindt niet precies de juiste parabool.

Het rekenwerk wordt veel ingewikkelder. (Maar het kan in principe wel!)

`f(0) = text(-)1 5/9` en `f(7) = 0` .

`x_(text(top)) = text(-)37/9 // text(-)10/9 = 3,7` en het maximum (bergparabool) is `f(3,7) = 6,05` .

Het gevraagde bereik is `[text(-)1 5/9; 6,05]` .

Begin met `y = ax^2 + bx + c` als algemene formule.

• punt `(0, 1)` geeft: `1 = c`

• punt `(10, 3)` geeft: `3 = 100a + 10b + c`

• punt `(25, 0)` geeft: `0 = 625a + 25b + c`

De onderste twee vergelijkingen worden `3 = 100a + 10b + 1` en `0 = 625a + 25b + 1` .
Vermenigvuldig de eerste links en rechts met `5` en de tweede links en rechts met  `2` .
Je vindt `15 = 500a + 50b + 5` en `0 = 1250a + 50b + 2` .
Trek ze van elkaar af: `750a - 3 = text(-)15` en dus `a = text(-) 12/750 = text(-)0,016` .
Hierbij hoort `b = 0,36` en `c = 1` .

De gevraagde vergelijking wordt `y = text(-)0,016x^2 + 0,36x + 1` .

De top ligt op `x = text(-) (0,36)/(2*text(-)0,016) = 11,25` .
De coördinaten zijn `(11,25; 3,025)` .

`f(x) = 0,5(x - 2)^2 - 5`

`0,5(x - 2)^2 - 5 = 0` geeft `x = 2 +- sqrt(10)` .
Dus vind je `(5,16; 0)` en `(text(-)1,16; 0)` .

Het minimum is de functiewaarde `f(2) = text(-)5` .
Het bereik is dus `[text(-)5, rarr rangle` .

Ga uit van `f(x)=a(x+1)(x-4)` en vul de coördinaten van `P` in.

Je vindt: `f(x) = text(-)0,75(x+1)(x-4)` .

De symmetrieas is `x = (4 - text(-)1)/2 = 2,5` .

Het maximum is `f(2,5) = text(-)0,75*3,5*text(-)1,5 = 3,9375` .

Een bergparabool.

Ga uit van `f(x)=a(x-p)^2+q` . Omdat de symmetrieas `x=2` is, kun je dit direct invullen: `y=a(x-2)^2+q` .

`(1,9)` invullen: `9=a(1-2)^2+q` levert op: `9=a+q` geeft uitdrukking I

`(5,5)` invullen: `5=a(5-2)^2+q` levert op `5=9a+q` geeft uitdrukking II

Dus op basis van uitdrukking I vind je `q=9-a` en dit vul je in uitdrukking II in:

`5=9a+9-a` en dus `text(-)4=8a` levert `a=text(-)1/2` en `q=9 1/2` .

Het functievoorschrift wordt dan:  `f(x)=text(-)1/2(x-2)^2+9 1/2 `

Top `(5 , 4 )` geeft: `h(x)=a (x-5 ) ^2+4` .

De grafiek gaat door het punt `(0 ; 2,5 )` : `h(0)=2,5` , dus `25 a+4 =2,5` en hieruit volgt `a=text(-)0,06` .

`h(x)=text(-)0,06 (x-5 ) ^2+4`

Los op: `h(x)=3,05` .

`text(-)0,06 (x-5 ) ^2+4 = 3,05` geeft `(x-5)^2 = 15,833...` en dus `x = 5 +- sqrt(15,833...)` .

`5 + sqrt(15,833...) ~~ 8,98` .

De speler staat ongeveer `8,98` meter voor de basket.

Domein: `text(D)_h = [0; 8,98]` .
Bereik: `text(D)_h = [2,5; 4]` .

`c=3`

Ga uit van `f(x)=ax^2+bx+3` en vul in:

`Q(2, 7)` : `7=a*2^2+b*2+3` ofwel `4a+2b+3=7`

`R(4, 12)` : `12=a*4^2+b*4+3` ofwel `16a+4b+3=12`

Los nu dit stelsel van vergelijkingen op met behulp van substitutie:

Uit de eerste vergelijking volgt: `2b=text(-)4a+4` en dus `4b=text(-)8a+8` en vul dit in de tweede vergelijking in: `16a+text(-8)a+8+3=12` en dit herleid je tot `8a+11=12` en dus `8a=1` en `a=1/8` . Bereken dan `b` terug via `4b=text(-)8*1/8+8` en dus `b=7/4` .

Je vindt dus `f(x)=1/8 x^2 + 7/4 x + 3`

`p=text(-3)1/8`

Zie de figuur.

Vorm: `h(x)=ax^2+bx+c` .
`h(0)=c=4,5`
`h(3)=9a+3b+4,5=0`
`h(text(-)3)=9a-3b+4,5=0`
Uit de laatste twee vergelijkingen volgt: `a=text(-)1/2` en `b=0` .
Formule dus: `h(x)=text(-)1/2 x^2+4,5` .

Een breedte van `5` m betekent (als de boot precies onder het midden van de brug vaart) dat `x_(min)=text(-)2,5` en `x_(max)=2,5` . Onder de brug door kunnen varen betekent: `h(text(-)2,5)=h(2,5) gt 1` .
`h(text(-)2,5) = h(2,5) = text(-)1/2 * 6,25 + 4,5 = 1,375` m.
De boot kan dus onder de brug door varen.

Je moet een `x` (halve breedte van de boot) vinden waarvoor geldt: `h(x) = text(-)1/2 x^2 + 4,5 = 1,2` .
Dit geeft `1/2 x^2 = 3,3` zodat `x^2=6,6` en `x = +-sqrt(6,6)` m.
Maximale breedte: `2 * sqrt(6,6) ~~ 5,14` m.

Eerste manier:

Voor de top gaat nu gelden: `h(0)=3,5` .
Nulpunten: `h(x)=1` geeft `text(-)1/2 * x^2 + 4,5 = 1` en `x^2 = 7` dus `x = +- sqrt(7)` .
Nieuwe grafiek: `h(x)=ax^2+bx+c` .
`h(0)=c=3,5`
`h(sqrt(7)) = 7a + bsqrt(7) + 3,5 = 0`
`h(text(-)sqrt(7)) = 7a - bsqrt(7) + 3,5 = 0`
Uit de laatste twee vergelijkingen volgt: `14a+7=0` en `a=text(-)1/2` en `b=0` . De nieuwe formule is `h(x) = text(-)1/2 * x^2 + 3,5` .

Tweede manier:

De grafiek zakt `1` m naar beneden, dus in plaats van `h(x) = text(-)1/2 * x^2 + 4,5` wordt de vergelijking: `h(x) = text(-)1/2 * x^2 + 3,5` .

`y = text(-)0,25 x^2 + 1,5 x + 4`

`g(3) = 6,25`

`(text(-)2, 0)` en `(8, 0)` .

`text(B)_g = [0; 6,25]`