Formules opstellen

Formules opstellen > Groeimodellen

12345Groeimodellen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Vanwege afrondingen.
En wellicht groeit het aantal inwoners niet lineair.

Het lijkt er op dat de groei steeds iets sneller gaat, dus niet lineair verloopt. Het is daarom verstandig om een ander type trendlijn te kiezen. Hier blijkt exponentiële groei het best te passen.

Bekijk de Uitleg om te zien hoe dit verder gaat.

Opgave 1

`N(0) = a*g^0 = a`

`324 = 125*g^(10)` geeft `g^(10) = 324/125` en `g = (324/125)^(1/(10)) ~~ 1,10` .
Je kunt ook gebruiken `g = root[10](324/125)` .

`N(15) ~~ 125 * 1,10^(15) ~~ 522,16` , dus op (ruim) `522text(.)000` inwoners.

Opgave 2

`N(0) = a*0^b = 0` en dat klopt niet met `N(0)=125` .

`N(0) = 125 = a + b*t^0 = a` geeft `a=125` .

Neem bijvoorbeeld `N(1) = 138 = 125 + b*1^c` , dan is `b = 138-125 = 13` .
Neem ook `N(10) = 324 = 125 + 13*10^c` , zodat `199 = 13*10^c` en `c = log(199/13) ~~ 1,18` .

Bijvoorbeeld is volgens dit groeimodel `N(5) = 125 + 13*5^(1,18) ~~ 212` en dat komt niet heel goed overeen met `N(5)=201` in de tabel.

Opgave 3

`g_4=350/200=1,75` , dus `g =1,75^(1/4)~~1,15`

`f(x)=b*1,15^x`

`f(10)=b*1,15^10=200` , dit geeft `b~~49` .

Dus: `f(x)~~49*1,15^x`

Opgave 4

Je vindt `Z=0,70*m^(0,75)` . Dit is dezelfde formule.

`Z≈124,5` L.

Opgave 5

Bij `x=1` heeft `f` de waarde `20` , dus de groeifactor is `20/10=2` . Hieruit volgt dat `f(x)=10 *2^x` .

Bij `x=text(-)1` heeft `g` de waarde `30` , dus de groeifactor is `10/30=1/3` . Hieruit volgt dat `g(x)=10 * (1/3)^x` .

Opgave 6

`H(5) = 68 = a*g^5` en `H(10) = 136 = a*g^10` geeft `136/68 = (g^10)/(g^5) = g^5` .

Hieruit volgt `g = (136/68)^(1/5) ~~ 1,15` .
En dan is `a * 1,15^10 ~~ 136` , zodat `a = 136/4 = 34` .

Functievoorschrift: `H(t) ~~ 34 * 1,15^t` .

Opgave 7

De formule krijgt de vorm `C = a*g^t` .
De grafiek gaat door `(0, 40)` en `(6, 10)` .

Dit geeft na invullen `40 = a*g^0` en `10 = a*g^6` en dus `a=40` en `g^6 = 10/40 = 0,25` , zodat `g = 0,25^(1/6) ~~ 0,794` .
De formule wordt `C(t) ~~ 40*0,794^t` .

`C(10) ~~ 40*0,794^10 ~~ 4,0` mg/L.

`C(t) ~~ 40*0,794^t le 1` geeft `0,794^t = 1/40` en `t = \ ^0,794 log(1/40) = (log(1/40))/(log(0,794)) ~~ 16,0` .
Na `16` dagen is de verontreiniging verdwenen.

Opgave 8

`H(420) = c*420^p = 500` en `H(500) = c*500^p = 560` , dus `(500/420)^p = 560/500` en `p = \ ^(500/420)log(560/500) ~~ 0,65` .

`H(420) = c*420^(0,65) = 500` geeft `c ~~ 9,86` .

De Meeh-coëfficiënt is ongeveer `9,86` en de bijbehorende formule is `H = 9,86*G^(0,65)` .

`H ~~ 9,86 *1000^(0,65) ~~ 897` dm².

Opgave 9

`v(3) = 20` geeft `a*3^b = 20` .
`v(108) = 120` geeft `a*108^b = 120` .
Dus `(108^b)/(3^b) = (108/3)^b = 36^b = 120/20 = 6` , dus `b = \ ^36 log(6) = (log(6))/(log(36)) = 0,5` .

En dus is `a^(3^(0,5)) = 20` , zodat `a = 20/(3^(0,5))~~11,55` .

De bedoelde formule wordt `v(R) ~~ 11,55*R^(0,5)` .

`R = 3/4*(v/10)^2` geeft `v/10 = sqrt(4/3 R)` en dus `v = 10*sqrt(4/3)*R^(0,5) ~~ 11,55 R^(0,5)` .

`v ~~ 11,55*32^(0,5) ~~ 65` km/h.

Opgave A1Handwarme thee

Handwarme thee

Omdat er niet elke tijdstap hetzelfde bedrag af gaat is `v` geen lineaire functie van `t` .

Wel wordt er elke tijdstap ongeveer met hetzelfde getal vermenigvuldigd: `60/75 = 48/60 ~~ 38/48 ~~ 31/38 ~~ 25/31 ~~ 0,8` .

Dit is een exponentieel verband en het model is: `v(t) = 75 * 0,8^t` (met `t` per `5` minuten).

Thee is handwarm als `T=50` ℃, dus als `v=30` ℃.
`75 * 0,8^t = 30` geeft `0,8^t=0,4` , dus `t =\ ^(0,8)log(0,4) = (log(0,4))/(log(0,8)) ≈ 4,12` .
Dit komt overeen met `5*4,12≈21` min.

`T(t)=20+v(t)= 20 + 75 * 0,8^(t/5)` ( `t` per minuut), ofwel `T(t) = 20 + 75*0,96^t` .

Bij toenemende `t` wordt `0,8^(t/5) ~~ 0` en nadert `T(t)` de grenswaarde `20` ℃.

Voor welke periode is de thee te drinken zonder je tong te verbranden?

Opgave A2Radioactief afval

Radioactief afval

Groeifactor per vier maanden: `1630/2000=0,815` .
Groeifactor per jaar: `g=0,815^3≈0,541` .

Een jaar voor 6 januari 2014 was de straling `2000 *0,541^(text(-)1)≈3695` Bq.

`g_(4\ text(maanden))=1630/2000=0,815` en `g_(text(jaar))=0,815^3≈0,541` .

`2,5` jaar na 6 januari 2014 was de straling `2000 *0,541... ^(2,5)≈431` Bq.

De beginwaarde `b` is gelijk aan `2000` .
De groeifactor per vier maanden is `0,815` , dus de groeifactor per maand is `(0,815)^(1/4) ~~ 0,950` .

Dus `S(t)=2000*0,950^t`

Tien jaar geleden was de straling `2000 *0,541^(text(-)10)≈931231` Bq.
`text(B)_S=〈0 , 931231 ]` .

`2000*0,950^t < 1000`

Voer in: Y1=2000*0.950^X en Y2=1000.
Venster bijvoorbeeld: `[0, 10]xx[0, 2000]` .
Snijden geeft `x=13,553...` , dus na ongeveer `13,6` maanden.

In februari 2015 is de straling voor het eerst minder dan `1000` Bq.

Opgave T1

`H(t) ~~ 3,26*1,30^t`

`H(t) ~~ 0,69*t^(1,77)`

verder | terug