Formules opstellen > Logaritmische modellenVoorbeeld 2
De onderstaande grafiek geeft voor de planeten van ons zonnestelsel een verband weer tussen de tijd `T` in jaren die nodig zijn voor het afleggen van één volledige baan om de zon en de (gemiddelde) straal `R` in AE (Astronomische Eenheid) van die baan. In de grafiek is `log(T)` uitgezet tegen `log(R)` en tussen beide lijkt een lineair verband te bestaan.
Stel een formule op voor dit verband.
De grafiek is bij benadering een rechte lijn door `(0, 0)` en `(1; 1,5)` .
De formule krijgt de vorm `log(T) = a*log(R) + b` .
-
Bij `log(R) = 0` hoort `log(T)=0` , zodat `0 = a * 0 + b` .
-
Bij `log(R) = 1` hoort (ongeveer) `log(T) = 1,5` , zodat `1,5 = a * 1 + b` .
Hieruit volgt: `a ~~ 1,5` en `b = 0` .
De formule wordt `log(T) ~~ 1,5 log(R)` .
Bekijk het verband tussen de omlooptijd
`T`
en de straal van de baan
`R`
van de planeten in ons zonnestelsel in
Hoe kun je aan de grafiek zien, dat de eenheid AE gelijk is aan de straal van de baan van de aarde?
Voor Mercurius geldt `R ~~ 0,39` AE. Bereken de omlooptijd van Mercurius in twee decimalen nauwkeurig.
Stel een formule op voor `T` afhankelijk van `R` en laat zien, dat je met deze formule hetzelfde antwoord krijgt als bij b.
Hier wordt de toename van het aantal inwoners in een middelgrote stad in beeld gebracht.
Nu is
`log(N)`
waarbij
`N`
het aantal inwoners in duizendtallen is, uitgezet tegen de tijd
`t`
in jaren na 2010.
Je ziet, dat de grafiek (ongeveer) een rechte lijn is door
`(0; 2,1)`
en
`(5; 2,3)`
.
Stel een bij deze grafiek passende formule op.
Voorspel met deze formule het aantal inwoners in 2025.
Stel een formule op voor `N` afhankelijk van `t` en laat zien, dat je met deze formule hetzelfde antwoord krijgt als bij b.