Zie figuur.
Zie figuur.
Zie figuur.
De maxima zijn allemaal `1` en ze zitten bij `x = 1/2 pi + k*2pi` .
De minima zijn allemaal `text(-)1` en ze zitten bij `x = 1 1/2 pi + k*2pi` .
`x = 1 + k*2pi vv x = pi - 1 + k*2pi` , dus `x = 1 + k*2pi vv x ~~ 2,14 + k*2pi` .
`30^@ = 30*(pi)/180 = 1/6 pi`
.
Je vindt deze uitkomst dus bij
`x = 1/6 pi + k*2pi vv x = pi - 1/6 pi + k*2pi`
, ofwel bij
`x = 1/6 pi + k*2pi vv x = 5/6 pi + k*2pi`
.
De maxima zijn allemaal `1` en ze zitten bij `x = 0 + k*2pi` .
De minima zijn allemaal `text(-)1` en ze zitten bij `x = pi + k*2pi` .
`x = 1 + k*2pi vv x = text(-)1 + k*2pi` .
`60^@ = 60*(pi)/180 = 1/3 pi`
.
Je vindt deze uitkomst dus bij
`x = 1/3 pi + k*2pi vv x = text(-) 1/3 pi + k*2pi`
.
Omdat
`MQ = PQ`
,
`MP = 1`
en
`MQ^2 + PQ^2 = 1^2`
geldt:
`PQ^2 = 1/2`
en dus
`PQ = sqrt(1/2)`
.
Dus is
`PQ = sqrt(1/2) = sqrt(2/4) = sqrt(1/4*2) = 1/2sqrt(2)`
.
Bekijk de applet en stel het juiste aantal graden/radialen in. Binnen één periode zie je dat bij `x=1/4 pi` en `x = pi - 1/4pi = 3/4pi` dezelfde uitkomst voor de sinus zit. En verder mag je bij beide volledige omwentelingen van `2pi` bij optellen en van aftrekken.
Bijvoorbeeld `x = 1 1/4pi + k*2pi vv x = 1 3/4pi + k*2pi`
`cos(1/4 pi) = sin(1/4 pi)`
en dat geldt ook als je er veelvouden van
`2pi`
bij telt.
`Delta MQP`
is de helft van een gelijkzijdige driehoek met zijden van
`1`
.
In
`Delta MQP`
is
`MP = 1`
,
`PQ = 1/2`
en
`MQ = sqrt(1^2 - (1/2)^2) = sqrt(3/4) = 1/2 sqrt(3)`
.
Dus
`sin(1/6 pi) = 1/2`
en
`cos(1/6 pi) = 1/2 sqrt(3)`
.
`Delta MQP`
is nu de helft van een gelijkzijdige driehoek waarvan
`PQ`
de symmetrieas is.
Verder wordt je redenering gelijk aan die bij a. Alleen is nu
`PQ = 1/2 sqrt(3)`
en
`MQ = 1/2`
.
Binnen de eerste periode `x = 1 1/6 pi vv x = 1 5/6 pi` .
Binnen het gegeven domein: `x = text(-)5/6 pi vv x = text(-)1/6 pi vv x = 1 1/6 pi vv x = 1 5/6 pi vv x = 2 1/6 pi vv x = 2 5/6 pi` .
`text(-)5/6 pi lt x lt text(-)1/6 pi vv 1 1/6 pi lt x lt 1 5/6 pi vv 2 1/6 pi lt x lt 2 5/6 pi` .
Met een grafische rekenmachine (TI-84):
Er zijn `3,25` periodes zichtbaar.
`sin(x)=sin(pi-x)`
`sin(text(-)0,1)=sin(pi-text(-)0,1)=sin(pi+0,1)`
`sin(x)=sin(text(-)0,1)` als `x=text(-)0,1 +2kpi vv x =pi+0,1 +2kpi` .
Voor `x~~3,241` , `x~~6,183` , `x~~9,525` , `x~~12,466` , `x~~15,808` , `x~~18,750` , `x~~22,091` en `x~~25,133` is `sin(x)=sin(text(-)0,1)` .
Bij
`cos(x) = 1/2 sqrt(3)`
hoort een exacte waarde:
`x = 1/6pi`
.
Bij
`cos(x) = text(-)1/2 sqrt(3)`
hoort dan:
`x = 5/6pi`
.
In het algemeen is
`cos(x) = text(-)1/2 sqrt(3)`
bij
`x = 5/6pi + k*2pi vv x = text(-)5/6pi`
.
Op dit domein:
`x=text(-)1 1/6pi vv x= text(-)5/6pi vv x=5/5pi vv x=1 1/6pi vv x=2 5/6pi vv x=3 1/6pi`
.
De transformaties:
Verschuiving in de `x` -richting met `1` .
Vermenigvuldiging in de `y` -richting met `text(-)2` .
Verschuiving in de `y` -richting met `4` .
Omdat het maximum van `y=sin(x)` gelijk is aan `1` , is het maximum van `f` : `2*1+4=6` .
Omdat het minimum van `y=sin(x)` gelijk is aan `text(-)1` , is het maximum van `f` : `2*text(-)1+4=2` .
`f(x)=3sin(x)-4=3cos(x-0,5pi)-4`
De transformaties:
Translatie in de `x` -richting met `0,5pi` .
Vermenigvuldiging in de `y` -richting met `3` .
Translatie in de `y` -richting met `text(-)4` .
Zie figuur.
In het algemeen als
`x = 0,25 + k*2pi vv x = pi - 0,25 + k*2pi`
.
Op het gegeven domein als
`x=0,25 vv x~~2,89 vv x~~6,53 vv x~~9,17`
.
Zie figuur.
In het algemeen als
`x = 0,25 + k*2pi vv x = text(-)0,25 + k*2pi`
.
Op het gegeven domein als
`x = text(-)0,25 vv x=0,25 vv x~~6,03 vv x~~6,53`
.
`x = 1/6pi + k*2pi vv x = 5/6pi + k*2pi`
`cos(x) = 0,5` geeft `x = 1/3pi` .
Uit de grafiek volgt dat `cos(x) = text(-)0,5` als `x = 2/3pi + k*2pi vv x = text(-)2/3pi + k*2pi` .
`x = 1 1/2pi + k*2pi` .
`cos(x) = 1/2sqrt(3)` geeft `x = 1/6pi` .
Uit de grafiek volgt dat `cos(x) = text(-)1/2sqrt(3)` als `x = 5/6pi + k*2pi vv x = text(-)5/6pi + k*2pi` .
Voer in:
`y=text(-)sin(x-3)+2`
Assen bijvoorbeeld:
`[0,4pi]xx[1,3]`
.
Denk om radialen!
De transformaties:
Translatie in de `x` -richting met `3` .
Vermenigvuldiging in de `y` -richting met `text(-)1` .
Translatie in de `y` -richting met `2` .
Het maximum van `f` is `1+2=3` en het minimum `text(-)1+2=1` .
De maxima van `f` liggen bij `x=1,5pi+3+k*2pi` en de minima bij `x=0,5pi+3+k*pi` .
De coördinaten van de toppen zijn:
`(3-0,5pi; 3)` , `(3+0,5pi;1)` , `(3+1,5pi;3)` en `(3+2,5pi;1)`
Voer in:
`y=0,5cos(x+pi)+4`
.
Assen bijvoorbeeld:
`[text(-)2pi,4pi]xx[3,5;4,5]`
.
De transformaties:
Translatie in de `x` -richting met `text(-)pi` .
Vermenigvuldiging in de `y` -richting met `0,5` .
Translatie in de `y` -richting met `4` .
Het maximum van `f` is `0,5+4=4,5` en het minimum `text(-)0,5+4=3,5` .
De maxima van `f` liggen bij `x=pi+2kpi` en de minima bij `x=2kpi` .
De coördinaten van de toppen zijn:
`(text(-)2pi;3,5), (text(-)pi;4,5), (0;3,5), (pi;4,5),(2pi;3,5), (3pi;4,5)` en `(4pi;3,5)`
In decimeter.
Bij
`x`
in graden is de periode
`360^@`
.
Bij
`x`
in radialen is de periode
`2pi`
.
De eenheden van
`h`
en
`x`
zijn goed vergelijkbaar, het zijn beide lengtes.
De grafiek komt gemakkelijker in beeld omdat de periode maar
`2pi`
is en geen
`360`
.
Het functievoorschrift wordt
`h(x) = 100sin(x)`
.
De grafiek schommelt nu tussen
`text(-)100`
en
`100`
op en neer.
Gebruik GeoGebra, Desmos, of een grafische rekenmachine.
Assen bijvoorbeeld
`[0, 4pi]xx[text(-)10, 10]`
.
`10*sin(x) = 5` geeft `sin(x) = 0,5` .
Dit betekent `x = 1/6pi + k*2pi vv x = 5/6pi + k*2pi` .
`H_B=5*sin(30°)=2,5` m, `H_C=5*sin(60°)=4,33` m en `H_F=H_B=2,5` m.
`H_A=5*sin((2pi)/12t)`
`H_B(t)=5+5*sin((2pi)/12(t+1))`
,
`H_C(t)=5+5*sin((2pi)/12(t+2))`
,
`H_D(t)=5+5*sin((2pi)/12(t+3))`
.
Controle:
`H_B(0)=5+5*sin((2pi)/12)=7,5`
m,
`H_C(0)=5+5*sin((4pi)/12)=9,33`
m,
`H_D(0)=5+5*sin((6pi)/12)=10`
m.
`t=0 rarr H_D=10`
Invullen in beide formules
`t=3 rarr H_D=5`
Invullen in beide formules.
Twee keer (zie figuur), namelijk `5*sin(75°)~~4,83` m boven en onder het midden.
`x= 1 1/4pi + k*2pi vv x = 1 3/4pi + k*2pi`
`x = 1/6pi + k*2pi vv x = text(-)1/6 pi + k*2pi`
De transformaties:
Translatie in de `t` -richting met `2` .
Vermenigvuldiging in de `h` -richting met `10` .
Translatie in de `h` -richting met `5` .
`text(B)_h = [text(-)5, 15]`