Differentiëren > Verandering
123456Verandering

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Sneller. Hij legt de eerste `8` km in `10` minuten af, dat is `0,8` km/min. De volgende `4` km doet hij in `8` minuten, dat is maar `0,5` km/min.

b

Je neemt daarvoor de richtingscoëfficiënt van dat lijnstuk.

c

`6` km in `16` minuten is `0,375` km/min. De helling van het lijnstuk is dan `3/8` .

d

Zijn/haar gemiddelde snelheid tussen de `6` en de `18` km.

Opgave V2
a

De grafiek gaat steeds steiler lopen, er is sprake van toenemende stijging.

b

In de eerste seconde: `t=0` geeft `s(0)=0` en `t=1` geeft `s(1) = 1,2` .
Gemiddelde snelheid: `(1,2 - 0)/(1 - 0) = 1,2` m/s.

In de tweede seconde: `t=1` geeft `s(1)=1,2` en `t=2` geeft `s(2) = 4,8` .
Gemiddelde snelheid: `(4,8 - 1,2)/(2 - 1) = 3,6` m/s.

In de derde seconde: `t=2` geeft `s(1)=4,8` en `t=3` geeft `s(2) = 10,8` .
Gemiddelde snelheid: `(10,8 - 4,8)/(3 - 2) = 6` m/s.

c

Door de helling van het lijnstuk tussen begin- en eindpunt van zo'n interval.

d

Je moet dan de helling van de grafiek op dat moment te weten zien te komen. Je kunt die helling benaderen door de helling op een zo klein mogelijk interval met beginpunt bij `t=5` te berekenen. Probeer maar eens.

Opgave 1
a

`Δt=6 -0 =6`
`Δs=1,2 *6^2-1,2 *0^2=43,2`

`(Delta s)/(Delta t) = (43,2)/6 = 7,2` m/s

b

`(Δs) / (Δt) = (1,2 *10^2-1,2 *6^2) / (10 -6) =19,2` m/s

c

Op `[6 ,10 ]` .

Opgave 2
a

`(Δ y) / (Δ x) = (f ( 5 ) - f ( 1 )) / (5 - 1) ~~ (2,3 - 0,9)/4 = 0,35`

b

`(Δ y) / (Δ x) = (f ( 4 ) - f ( 2 )) / (4 - 2) ~~ (1,4 - 2,2)/2 = text(-)0,4`

c

`(Δ y) / (Δ x) = (f ( 6 ) - f ( 1 )) / (6 - 1) ~~ (4,3 - 0,9)/5 = 0,68`

d

Bijvoorbeeld op het interval `[5, 6]` .

Opgave 3
a

`(1,2 *5^2-1,2*0^2) /5=6` m/s
De gemiddelde snelheid over de eerste vijf seconden is `6` m/s.

b

`(Δs) / (Δt) = (1,2 * (5 +h) ^2-1,2 *5^2) / (5 +h-5) = (12 h+1,2 h^2) /h=12 +1,2 h` zolang `h≠0` . Als `h rarr 0` , dan vind je `v(5) = s'(5) = 12` m/s.

b

Het is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in het punt met `t=5` .

Opgave 4
a

`(Delta y)/(Delta x) = (5*5^2 - 5*2^2)/(5-2) = 105/3 = 35` .

b

Op het interval `[2, 2+h]` is het differentiequotiënt:

`(Delta y)/(Delta x) = (5*(2+h)^2 - 5*2^2)/(2+h-2) = (20h+5h^2)/h = 20+5h` .

Met `h rarr 0` krijg je een momentane verandering van `20` .

c

`20`

Opgave 5
a

`(Delta y)/(Delta x) = (3-0)/(1-text(-)2) = 1` .

b

`(Delta y)/(Delta x) = (3-3)/(1-text(-)1) = 0` .

Opgave 6
a

Op het interval `[0 ,10 ]` geldt: `(Δs) / (Δt) = (3,5 -0) / (10 -0) =0,35` . Daar is de gemiddelde snelheid `0,35` km/min.

Op het interval `[10,15 ]` geldt: `(Δs) / (Δt) = (5,5 -3,5) / (15 -10) =0,40` . Daar is de gemiddelde snelheid `0,40` km/min.

Hoewel hij dus op het tweede tijdsinterval een kleinere afstand aflegt, is zijn gemiddelde snelheid er hoger. Met behulp van differentiequotiënten kun je de prestaties eerlijk vergelijken.

b

De gemiddelde snelheid is `(Delta s)/(Delta t)=3/8=0,375` kilometer per minuut.
`60*0,375=22,5` km/h

c

De hardloper doet er dan `8/(0,375)~~21,3` minuten over. De hardloper uit het voorbeeld liep de afstand in `21` minuten en is dus het snelst.

Opgave 7
a

`15/100=0,15` , dus de gemiddelde hoogteverandering per meter is `0,15` m.

b

`(250-100)/(1000-0)=0,15` . Dus `0,15` meter per meter.

c

Nee, eigenlijk verwacht je dat de steilste helling wordt aangegeven.

d

`(220 -210) / (500 -400) =0,1` m

e

De laatste `100` meter is de gemiddelde helling ongeveer `65/100` .
Aan het eind is de helling dus ongeveer `65` %.

Opgave 8
a

De gemiddelde verandering wordt over een steeds kleiner wordend interval vanaf `x=3` berekend.
Je kunt dan steeds beter spreken over de verandering op het moment dat `x=3` .

b

`(Δy) / (Δx) = ((4+h) ^2-4^2) /h=(16+8h+h^2-16)/h`
`=(8h+h^2)/h=8+h` (mits `h ne 0` ).

Als `h rarr 0` , dan `8+h rarr 8` .

Het differentiaalquotiënt van `f` voor `x=4` is dus `8` .

c

Omdat de richtingscoëfficiënt van die raaklijn `8` is (zie het antwoord bij b), geldt `y=8x+b` .
De raaklijn gaat door `(4, 16)` , dus `16 = 8*4+b` zodat `b=text(-)16` .
De raaklijn heeft vergelijking `y = 8x - 16` .

Opgave 9
a

`(Δy) / (Δx) = (4-0,25*(1+h) ^2- 4 +0,25*1^2) /h=(text(-)0,5h- 0,25h^2)/h= text(-)0,5 - 0,25h` (mits `h ne 0` )
Het differentiequotiënt is `text(-)0,5 - 0,25h` .

b

`f'(1 )=text(-)0,5`

c

`y=text(-)0,5x+b`

`f(1)=3,75` , dus `b=3,75+0,5=4,25`

De vergelijking van de raaklijn is `y=text(-)0,5x+4,25` .

Opgave 10
a

De helling is steiler bij `t=4` dus daar lag de snelheid hoger.

b

De richtingscoëfficiënt is ongeveer `0` .

c

Als de auto met een constante snelheid rijdt is de grafiek een rechte lijn.

Op het interval `[11, 16]` is de grafiek bijna een rechte lijn, dus de auto heeft `5` minuten met ongeveer een constante snelheid gereden.

Opgave 11
a

`(Δy) / (Δx) =2/1=2 `

b

`C(1,3)` en `F(4,1)` .
Zo vind je `Δx = 4 -1 =3` en `Δy = 1 - 3 = text(-)2` .
`(Δy)/(Δx) = text(-)2/3`

c

`D` en `F` en `A` en `E` .

d

Dat is negatief.

Opgave 12
a

De gemiddelde verandering is `(Delta y)/(Delta x) = (f(6)-f(2))/(6-2) = (90-30)/4 = 15` .

b

Het differentiequotiënt is `(Delta y)/(Delta x) = (f(9)-f(text(-)4))/(9-text(-)4) = (156 - 0)/13 = 12` .

c

Bijvoorbeeld `[text(-)4, text(-)3]` .

Opgave 13
a

Het differentiequotiënt op het interval `[0, 10]` is `(8-0) / (10 -0) =0,8` . Dit betekent dat de gemiddelde snelheid van de wielrenner op het eerste tijdsinterval `0,8` km/min was.

b

Het hellingsgetal is `(29 -23) / (60 -44) =0,375` . Het differentiequotiënt op het interval `[44, 60]` is `0,375` . Oftewel de gemiddelde snelheid van de wielrenner op het interval `[44, 60]` is `0,375` km/min.

c

`(23 -12) / (44 -18) =11/26~~0,42`

d

Het differentiequotiënt op het interval `[10, 94]` is  `(45 -8) / (94 -10) ~~0,44`

De wielrenner heeft zijn krachten niet goed verdeeld want op het eerste interval heeft de wielrenner een gemiddelde snelheid van `0,8` km/min en op de rest van het traject haalt hij een gemiddelde snelheid van ongeveer `0,44` km/min.

Opgave 14
a

Het differentiequotiënt op `[2, 2+h]` is:

`(Δy)/(Δx) = (3(2+h)^2+5-17)/(h) = (12h + 3h^2)/h = 12+3h`

Met `h rarr 0` vind je een differentiaalquotiënt van `12` .

Dit getal is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x=2` en ook de momentane verandering van `f` voor `x=2` .

b

De raaklijn heeft de vorm `y = 12x + b` .

De raaklijn gaat door `(2, f(2)) = (2, 17)` , dus `17 = 12*2+b` zodat `b=text(-)7` .

Raaklijnvergelijking: `y = 12x - 7` .

Opgave 15
a

`(40-5)/(4-0)≈8,8` cm/week

b

Teken een raaklijn aan de grafiek door het punt `(3, 22)` en bepaal het hellingsgetal van die lijn.

Bepaal het differentiequotiënt van de raaklijn op een geschikt interval:
`(text(d)y)/(text(d)x) = (80-0)/(7-1,4) = 80/(5,6) ~~ 14` cm/week.

De dahlia groeit na `3` weken dus met ongeveer `14`  cm/week.

c

Na `4,5` week.

d

Na `4,5` week gaat de toenemende stijging over in een afnemende stijging. Op dat punt is de stijging dus het grootst. Het hellingsgetal in dat punt van de grafiek is het grootst.

Opgave A1
a

`(s(5)-s(0))/(5-0)=(4,9*5^2)/5=24,5` m/s

b

Het differntiequotiënt op `[5, 5+h]` is:

`(s(5+h)-s(5))/h=(4,9*(5+h)^2 - 4,9*5^2)/h=49h + 4,9h^2`

Met `h rarr 0` vind je `[(text(d)s)/(text(d)t)]_(t=5) = 49` m/s.

c

Het tijdstip dat de steen op de grond valt vind je door `4,9t^2=500` op te lossen.

Dit geeft `t^2=500/(4,9)` , dus `t=sqrt(500/(4,9))~~10,1` (en `t~~text(-)10,1` maar deze oplossing is niet relevant).

Daarbij vind je `[(text(d)s)/(text(d)t)]_(t=10,1)=98,98` m/s.

Opgave A2

Het muntje is ongeveer `380 = 4,9t^2` geeft `t~~8,8` s.

Daarbij hoort een snelheid van ongeveer `86,3` m/s en dat is ongeveer `311` km/h.

Opgave T1

`4`

Opgave T2
a

`(8-8)/(6-2)=0` °C per uur.

`(20-8)/(17-6)≈1,1 ` °C per uur.

`(15-20)/(20-17)≈text(-)1,7 ` °C per uur.

b

De raaklijn in het punt van de grafiek dat bij 8:00 uur hoort gaat door `(8, 10)` en ongeveer door `(12, 15)` .
De helling van die raaklijn is dus ongeveer `(15-10)/(12-8) = 1,15` .
De momentane temperatuurverandering om 8:00 is dus ongeveer `1,25` °C per uur .

Opgave T3
a

`2,4` .

b

`y=2,4 x-1,4` .

c

`(text(-)2 ; 3,4 )`

d

`(0 , 1 )`

verder | terug