Differentiëren > Verandering
123456Verandering

Uitleg

Als een zeilwagen start en de windkracht constant is, dan neemt zijn snelheid toe. Veronderstel dat voor de afgelegde afstand `s` (in meter) geldt: `s ( t ) = 1,2 * t^2` . Hierin is `t` de tijd in seconden. Bekijk de grafiek.
Na `2` seconden is de afgelegde afstand `s (2) = 4,8` m.
Na `6` seconden is de afgelegde afstand `s (6) = 43,2` m.
In `4` seconden is er `s (6) - s (2) = 43,2 - 4,8 = 38,4` m afgelegd.
De gemiddelde snelheid is: `(38,4)/4 = 9,6` m/s.

Je berekent de gemiddelde snelheid, ofwel de gemiddelde verandering van plaats, door het verschil in afstand te delen door het verschil in tijd:

gemiddelde snelheid `= (Δ text(afstand)) / (Δ text(tijd))` .

Het teken `∆` (een Griekse letter D) staat voor differentie, wat verschil betekent. Dit getal is de helling van het lijnstuk tussen de punten die horen bij `t=1` seconde en bij `t=4` seconden.

Op het interval `[2, 6]` verandert `s(t)` gemiddeld met: `(Δ s) / (Δ t) = (s (6) - s (2)) / (6 - 2) = (38,4)/4 = 9,6` m/s.

Dit heet een differentiequotiënt ( "differentie" is "verschil" en een quotiënt is de uitkomst van een deling).
De gemiddelde verandering van `s` op een gegeven interval van `t` is het differentiequotiënt over dat interval.
Het is ook de helling van het lijnstuk `PQ` .

Opgave 1

Voor de afgelegde afstand `s` (in meter) van de zeilwagen in de uitleg geldt dat `s = 1,2 t^2` . Hierin is `t` de tijd in seconden.

a

Bereken de gemiddelde snelheid op het tijdsinterval `[ 0 , 6 ]` .

b

Bereken ook de gemiddelde snelheid op het interval `[6 , 10 ]` .

c

Op welk van beide intervallen was de gemiddelde snelheid van de zeilwagen het hoogst?

Opgave 2

In het algemeen heb je te maken met een functie als `y = f ( x )` .
Hier zie je een grafiek van een functie `f` .
Bekijk het interval `[1, 5]` .

a

Bereken de gemiddelde verandering van `f` op dit interval.
Lees functiewaarden af uit de grafiek.

b

Bereken de gemiddelde verandering van `f` op het interval `[2, 4]` .

c

Bereken de helling van het lijnstuk dat hoort bij de punten `(1, f(1))` en `(6, f(6))` .

d

Geef een interval waarop de gemiddelde verandering `2` m/s is.

verder | terug