Differentiëren > Verandering
123456Verandering

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

De grafiek gaat steeds steiler lopen, er is sprake van toenemende stijging.

b

In de eerste seconde: geeft en geeft .
Gemiddelde snelheid: m/s.

In de tweede seconde: geeft en geeft .
Gemiddelde snelheid: m/s.

In de derde seconde: geeft en geeft .
Gemiddelde snelheid: m/s.

c

Door de helling van het lijnstuk tussen begin- en eindpunt van zo'n interval.

d

Je moet dan de helling van de grafiek op dat moment te weten zien te komen. Je kunt die helling benaderen door de helling op een zo klein mogelijk interval met beginpunt bij te berekenen. Probeer maar eens.

Opgave 1
a


m/s

b

m/s

c

Op .

Opgave 2
a

b

c

d

Bijvoorbeeld op het interval .

Opgave 3
a

m/s
De gemiddelde snelheid over de eerste vijf seconden is m/s.

b

zolang . Als , dan vind je  m/s.

b

Het is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in het punt met .

Opgave 4
a

.

b

Op het interval is het differentiequotiënt:

.

Met krijg je een momentane verandering van .

c

Opgave 5
a

.

b

.

Opgave 6
a

Op het interval geldt: . Daar is de gemiddelde snelheid km/min.

Op het interval geldt: . Daar is de gemiddelde snelheid km/min.

Hoewel hij dus op het tweede tijdsinterval een kleinere afstand aflegt, is zijn gemiddelde snelheid er hoger. Met behulp van differentiequotiënten kun je de prestaties eerlijk vergelijken.

b

De gemiddelde snelheid is kilometer per minuut.
km/h

c

De hardloper doet er dan minuten over. De hardloper uit het voorbeeld liep de afstand in minuten en is dus het snelst.

Opgave 7
a

, dus de gemiddelde hoogteverandering per meter is m.

b

. Dus meter per meter.

c

Nee, eigenlijk verwacht je dat de steilste helling wordt aangegeven.

d

m

e

De laatste meter is de gemiddelde helling ongeveer .
Aan het eind is de helling dus ongeveer %.

Opgave 8
a

De gemiddelde verandering wordt over een steeds kleiner wordend interval vanaf berekend.
Je kunt dan steeds beter spreken over de verandering op het moment dat .

b


(mits ).

Als , dan .

Het differentiaalquotiënt van voor is dus .

c

Omdat de richtingscoëfficiënt van die raaklijn is (zie het antwoord bij b), geldt .
De raaklijn gaat door , dus zodat .
De raaklijn heeft vergelijking .

Opgave 9
a

(mits )
Het differentiequotiënt is .

b

c

, dus

De vergelijking van de raaklijn is .

Opgave 10
a

De helling is steiler bij dus daar lag de snelheid hoger.

b

De richtingscoëfficiënt is ongeveer .

c

Als de auto met een constante snelheid rijdt is de grafiek een rechte lijn.

Op het interval is de grafiek bijna een rechte lijn, dus de auto heeft minuten met ongeveer een constante snelheid gereden.

Opgave 11
a

b

en .
Zo vind je en .

c

en en en .

d

Dat is negatief.

Opgave 12
a

De gemiddelde verandering is .

b

Het differentiequotiënt is .

c

Bijvoorbeeld .

Opgave 13
a

Het differentiequotiënt op het interval is . Dit betekent dat de gemiddelde snelheid van de wielrenner op het eerste tijdsinterval km/min was.

b

Het hellingsgetal is . Het differentiequotiënt op het interval is . Oftewel de gemiddelde snelheid van de wielrenner op het interval is km/min.

c

d

Het differentiequotiënt op het interval is 

De wielrenner heeft zijn krachten niet goed verdeeld want op het eerste interval heeft de wielrenner een gemiddelde snelheid van km/min en op de rest van het traject haalt hij een gemiddelde snelheid van ongeveer km/min.

Opgave 14
a

Het differentiequotiënt op is:

Met vind je een differentiaalquotiënt van .

Dit getal is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van voor en ook de momentane verandering van voor .

b

De raaklijn heeft de vorm .

De raaklijn gaat door , dus zodat .

Raaklijnvergelijking: .

Opgave 15
a

cm/week

b

Teken een raaklijn aan de grafiek door het punt en bepaal het hellingsgetal van die lijn.

Bepaal het differentiequotiënt van de raaklijn op een geschikt interval:
cm/week.

De dahlia groeit na weken dus met ongeveer  cm/week.

c

Na week.

d

Na week gaat de toenemende stijging over in een afnemende stijging. Op dat punt is de stijging dus het grootst. Het hellingsgetal in dat punt van de grafiek is het grootst.

Opgave A1Gemiddelde snelheid van een trein
Gemiddelde snelheid van een trein
a

Trein A: km/h en Trein B: km/h.

b

Trein A: uur toenemende stijging, uur afnemende stijging, uur toenemende stijging.
Trein B: uur toenemende stijging, uur constante stijging, uur afnemende stijging.

c

Trein .

d

Op de tijdstippen uur en uur.

Dezelfde snelheid betekent: waar in de grafiek zijn de hellingen (raaklijnen) gelijk aan elkaar? Het is niet waar de grafieken elkaar snijden. Zie daarvoor de uitleg bij c.

Opgave A2Temperatuurverloop in een broeikas
Temperatuurverloop in een broeikas
a

°C/uur.

b

uur.

c

°C/uur.

d

De grafiek zou een stijgende, rechte lijn blijven vertonen vanaf genoemd tijdstip.

e

Op de tijdstippen uur.

f

Interval uur.

Opgave T1

Opgave T2
a

°C per uur.

°C per uur.

°C per uur.

b

De raaklijn in het punt van de grafiek dat bij 8:00 uur hoort gaat door en ongeveer door .
De helling van die raaklijn is dus ongeveer .
De momentane temperatuurverandering om 8:00 is dus ongeveer °C per uur .

Opgave T3
a

.

b

.

c

d

verder | terug