Differentiëren > Verandering
123456Verandering

Uitleg

Dit is de grafiek van de afstand die een zeilwagen heeft afgelegd. Er geldt `s=1,2 t^2` .
Daarbij is `s` de afgelegde afstand in meter en `t` de tijd in seconde. De wagen gaat steeds sneller rijden.

De snelheid op `t=4` bereken je met het differentiequotiënt op het interval `[4, 4 +h]` waarbij `h` steeds dichter bij `0` wordt gekozen: `h rarr 0` .

Het differentiequotiënt op dat interval is:

`(Δs)/(Δt) = (1,2 * (4 +h) ^2-1,2 *4^2) / (4 +h-4)`

Dat is de gemiddelde snelheid in m/s op het interval `[4, 4 +h]` . De formule is te herleiden tot:

`(Δs)/(Δt) = (1,2 * (4 +h) ^2-1,2 *4^2) / (h) = (9,6 h+1,2 h^2)/h=9,6 +1,2 h`

Als `h rarr 0` , dan `1,2h rarr 0` .

`9,6 +1,2 h` nadert dan de waarde `9,6` m/s.

Je noemt deze waarde het differentiaalquotiënt op `t=4` .

En het is de plaatsverandering, de snelheid op `t=4` : `v(4)=9,6` m/s.

Dit differentiaalquotiënt is ook de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de functie in dat punt. En het is de momentane verandering van de functie.

Opgave 3

Bekijk de formule voor de afgelegde weg van de zeilwagen in Uitleg 1.

a

Bereken de gemiddelde snelheid over de eerste vijf seconden.

b

Bereken de snelheid op `t = 5` met behulp van het differentiequotiënt op het interval `[5, 5 + h]` , waarin `h rarr 0` .

b

Hoe wordt de snelheid `t=5` zichtbaar in de grafiek?

Opgave 4

Een functie `f` is gegeven door `f(x) = 5x^2` .

a

Bereken de gemiddelde verandering van deze functie op het interval `[2, 5]` .

b

Bereken de momentane verandering van deze functie als `x=2` .

c

Hoe groot is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x=2` ?

verder | terug