Differentiëren > Het begrip afgeleide
123456Het begrip afgeleide

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

m.

De snelheid bereken je met een tabel differentiequotiënten op met .
Je vindt een snelheid van m/s.

b

Bereken de snelheden voor

Bij deze tabel past de formule .

Opgave 1
a

m/s
De gemiddelde snelheid over de eerste vijf seconden is m/s.

b

zolang . Als , dan vind je m/s.

c

Stel het differentiequotiënt op het interval op en herleid dit:

Neem en je vindt

d

GeoGebra: en Afgeleide().

Desmos: en .

GR: afhankelijk van het merk.

e

is de snelheid op tijdstip , de afgeleide waarde voor en de helling van de grafiek voor .

f

m/s.

Opgave 2
a

Differentiequotiënt op :

geeft .

b

Differentiequotiënt op :

geeft .

Hellingsgrafiek in GeoGebra: en Afgeleide().

Hellingsgrafiek in Desmos: en .

Hellingsgrafiek op de GR: afhankelijk van het merk.

c

Opgave 3
a

is dan positief.

b

Dan heeft de grafiek van een raaklijn met richtingscoëfficiënt .

c

gaat dan van een negatief getal over in een positief getal.

d

Dan heeft de grafiek van een steilste helling, een grootste richtingscoëfficiënt.

Opgave 4
a

Zie figuur.

b

als

Bij is er een maximum en bij een minimum.

c

max. en min.

d

heeft een minimum voor .
Daar heeft de raaklijn aan de grafiek van de kleinste richtingscoëfficiënt, daar is de momentane verandering van het kleinst.

Opgave 5
a

voor

b

Bij is er een nulpunt voor de afgeleide. Aan de grafiek van de afgeleide zie je dat de waarden van de helling voor en na het nulpunt van altijd positief zijn. Er is dus geen sprake van tekenwisselling van de afgeleide en er is dus ook geen extreme waarde voor de grafiek.

Opgave 6
a

Met krijg je .

b

Er moet gelden dat voor een bepaalde waarde van . Dat is het geval als . Het punt ligt ook op de lijn . En dus is deze lijn de raaklijn van de grafiek van voor .

Opgave 7

voor elke

Opgave 8
a

Door die zijn de functiewaarden nogal groot, ook bij -waarden rondom .

b

Omdat die geen invloed heeft op de hellingen van de raaklijnen. Die worden dus niet ineens heel veel groter door die .

c

De hellingsgrafiek is hetzelfde als die in het Voorbeeld 2. Dus:

  • min.

  • max.

  • min.

Opgave 9
a

GeoGebra: en Afgeleide().

Desmos: en .

GR: afhankelijk van het merk.

b

geeft .

c
  • max.

  • min.

Opgave 10
a

Differentiequotiënt op is:

geeft .

b

Als is de grafiek van stijgend.

Als is de grafiek van dalend.

c

geeft en dus .

Opgave 11
a

Laat eerst met behulp van een differentiequotiënt op zien, dat .

Instellingen voor de assen bijvoorbeeld: .

b

Als dan is .

Opgave 12
a

Het differentiequotiënt op is:

Met vind je .

b

Met vind je .

c

Opgave 13
a

GeoGebra: en Afgeleide().

Desmos: en .

GR: afhankelijk van het merk.

b

geeft .

  • Voor is er geen extreme waarde omdat daar niet van teken wisselt.

  • min.

c

, dus de vergelijking wordt .

, dus geeft .

Vergelijking raaklijn: .

Opgave 14
a

De gemiddelde snelheid is m/s.

b

Als krijg je de snelheid na s. Deze snelheid is dus m/s en dat is groter dan de gemiddelde snelheid van m/s.

c

Als naar nadert, krijg je .

d

km/h = m/s en geeft .

Na ongeveer seconden beweegt het lichaam in vrije val.

Opgave 15
a

GeoGebra: en Afgeleide().

Desmos: en .

GR: afhankelijk van het merk.

b

is de verandering van de winst in honderden euro per verandering van stuks van de productie in de buurt van een productie van stuks.

Dus: het is de verandering van de winst in honderden euro bij een toename van met in de buurt van een productie van stuks.

Of: het is de extra winst van een extra product in de buurt van stuks.

Of economisch: het is de marginale winst.

c

als (gebruik de grafiek bij a).

Er is een maximum bij , dus de maximale opbrengst treedt op bij een verkoop van stuks per jaar.

De maximale winst is € 303333,33.

Opgave 16

Opgave A1
a

Differentiequotiënt op is:

Dus m/s.

b

Differentiequotiënt op is:

Dus m/s.

c

m/s.

Opgave A2

geeft s.

geeft m/s.

Opgave T1
a

=

b

.

c

d

Opgave T2
a

Gebruik GeoGebra, Desmos of een GR.

b

is de snelheid waarmee de opbrengst verandert voor .

c

Bekijk de grafiek van .
als .
gaat daar van positief naar negatief en heeft er een maximum.

De maximale opbrengst treedt op bij een verkoop van auto's per jaar.

verder | terug