Differentiëren > Het begrip afgeleide
123456Het begrip afgeleide

Voorbeeld 2

Gegeven is de functie `f(x) = x^4 - 4x^2 + 2` .
Bepaal de extremen van `f` met behulp van een grafiek van de afgeleide.

> antwoord

Hier zie je hoe dit is gedaan met behulp van GeoGebra. Maar je kunt ook Desmos of een grafische rekenmachine gebruiken.

Je kunt aflezen dat `f'(x)=0` als `x=text(-)1 vv x=0 vv x=1` .

Of er sprake is van een maximum of een minimum of geen van beide kun je aan de grafiek van de afgeleide zien:

  • Als `x=text(-)1` gaat `f'` over van negatief naar positief.
    Dat betekent dat `f` daar een minimum heeft: min. `f(text(-)1) = 1` .

  • Als `x=0` gaat `f'` over van positief naar negatief.
    Dat betekent dat `f` daar een maximum heeft: max. `f(0) = 2` .

  • Als `x=1` gaat `f'` over van negatief naar positief.
    Dat betekent dat `f` daar een minimum heeft: min. `f(1) = 1` .

Omdat je hier de extremen ook gemakkelijk direct uit de grafiek van de functie zelf kunt halen, lijkt het werken met zo'n afgeleide overbodig. Maar dat wordt heel anders als je straks met functies te maken krijgt waarvan de grafiek niet zo gemakkelijk in beeld komt.

Opgave 8

In Voorbeeld 2 zie je hoe de extremen van een functie kunnen worden bepaald vanuit de grafiek van de afgeleide.
Gegeven is nu de functie `f(x) = x^4 - 4x^2 + 200` .

a

Waarom krijg je nu de grafiek van `f` niet automatisch met de standaardinstellingen in beeld?

b

Waarom krijg je de hellingsgrafiek wel gemakkelijk in beeld?

c

Welke extremen heeft deze functie?

Opgave 9

Gegeven is de functie `f(x) = 1000 - 3x^2 + x^3` .

a

Maak een grafiek van de hellingfunctie (de afgeleide) van `f` .

b

Bepaal de nulpunten van de afgeleide.

c

Welke extremen heeft deze functie?

verder | terug