Differentiëren > Het begrip afgeleide
123456Het begrip afgeleide

Uitleg

Voor de afstand die een zeilwagen heeft afgelegd geldt .
Hierbij is de afgelegde afstand in meter en de tijd in seconde. De wagen gaat steeds sneller rijden.

De snelheid op kun je uitrekenen met behulp van het differentiequotiënt op het interval als je na herleiden kiest. Je vindt dan m/s.
Dit differentiaalquotiënt noem je ook wel de afgeleide waarde van voor en je noteert .

Op dezelfde manier kun je bij elke willekeurige -waarde de snelheid uitrekenen met behulp van het differentiequotiënt op het interval .

Je vindt dan .

is de veranderingsfunctie van en geeft voor elke waarde van de momentane verandering van . Omdat het hier over afstand en tijd gaat, is deze functie ook de snelheidsfunctie.

Je noteert zo'n veranderingsfunctie als en hij heet de afgeleide functie. Hij beschrijft ook de helling van de grafiek voor elke waarde van .
GeoGebra, Desmos, of een grafische rekenmachine kunnen bij een gegeven functie de grafiek van de afgeleide functie maken. Dat noem je de hellingsgrafiek van de functie. Je ziet hier de hellingsgrafiek van .

Opgave 1

Bekijk de formule voor de afgelegde weg van de zeilwagen in Uitleg 1.

a

Bereken de gemiddelde snelheid over de eerste vijf seconden.

b

Bereken de snelheid op met behulp van het differentiequotiënt op , waarin .

c

Stel zelf de formule voor op met behulp van het differentiequotiënt op .

d

Maak de grafiek van de afgeleide van met behulp van GeoGebra, Desmos, of een grafische rekenmachine. Ga na, dat deze grafiek hetzelfde is als de grafiek van de formule bij b.

e

Welke betekenis heeft ?

f

Hoe groot is ?

Opgave 2

Gegeven is de functie .

a

Bereken met behulp van een differentiequotiënt.

b

Stel de formule op voor de afgeleide functie .
Maak ook de hellingsgrafiek van en laat zien dat die past bij de afgeleide.

c

Controleer je antwoord bij a door in de afgeleide functie in te vullen.

verder | terug