Differentiëren > Het begrip afgeleide
123456Het begrip afgeleide

Uitleg

In een maximum van een grafiek gaat de grafiek over van stijgen naar dalen. De helling gaat dus over van positief naar negatief. De grafiek van de afgeleide geeft de helling van de grafiek van de functie weer. Dus de grafiek van de afgeleide gaat daar ook over van positief naar negatief. Dat kun je gebruiken om de waarde van bijvoorbeeld het maximum te vinden. Hier zie je hoe dat kan.

Je ziet hier de grafiek (in het rood) van de functie `f(x)=x^4-2 x^2+4` . De andere grafiek is de hellingsgrafiek van `f` , dus de grafiek van de afgeleide `f'` . Als je goed kijkt, zie je dat:

  • de grafiek van `f` een minimum heeft als de afgeleide overgaat van negatief naar positief (dit is het geval voor `x=text(-)1` en voor `x=1` );

  • de grafiek van `f` een maximum heeft als de afgeleide overgaat van positief naar negatief (dit is het geval voor `x=0` ).

Je zoekt dus naar de waarden van `x` waar de afgeleide overgaat van positief in negatief of andersom. Dat moet dus bij een nulpunt van de afgeleide zijn.

Als de afgeleide `0` is, heeft de grafiek van de functie een horizontale raaklijn.

Extremen berekenen doe je dus zo:

  • Bereken voor welke `x` -waarden de afgeleide `0` is.

  • Controleer of de afgeleide daar van positief naar negatief of andersom gaat.

  • Bereken de extreme waarde door de gevonden waarden voor `x` in te vullen in de functie zelf.

Opgave 3

Bekijk in Uitleg 2 wat `f'(x)` zegt over het verloop van `f(x)` .

a

Wat weet je van `f'(x)` als de grafiek van `f` stijgend is?

b

Wat weet je van de grafiek van `f` als `f'(x) = 0` ?

c

Wat gebeurt er met `f'(x)` als de grafiek van `f` een minimum heeft?

d

Wat weet je van de grafiek van `f` als `f'(x)` een maximum heeft?

Opgave 4

Gegeven is de functie `f(x) = x^3 - 3x` .

a

Maak de grafiek van de afgeleide van `f` .

b

Lees de nulpunten van de afgeleide uit de figuur af. Bekijk of er bij deze nulpunten van `f'(x)` extreme waarden optreden (minima of maxima) voor  `f` .

c

Bereken de extremen van `f` .

d

Ga na dat ook `f'` een minimum heeft.
Welke betekenis heeft dit minimum voor de grafiek van `f` ?

Opgave 5

Bekijk de grafiek van de functie `f(x)=x^3` en die van zijn afgeleide.

a

Bepaal de waarden van `x` waarin `f'(x)=0` .

b

Heeft de functie een extreme waarde?

verder | terug