Differentiëren > Het begrip afgeleide
123456Het begrip afgeleide

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Antwoord 1.

b

Antwoord 2.

Opgave 1
a

`(1,2 *5^2-1,2*0^2) /5=6` m/s
De gemiddelde snelheid over de eerste vijf seconden is `6` m/s.

b

`(Δs) / (Δt) = (1,2 * (5 +h) ^2-1,2 *5^2) / (5 +h-5) = (12 h+1,2 h^2) /h=12 +1,2 h` zolang `h≠0` . Als `h rarr 0` , dan vind je `v(5) = s'(5) = 12` m/s.

c

Stel het differentiequotiënt op het interval `[t, t+h]` op en herleid dit:

`(Δs) / (Δt) = (1,2 * (t+h) ^2-1,2 *t^2) / (t+h-t) = (2,4 th+1,2 h^2) /h=2,4t+1,2h`

Neem `h rarr 0` en je vindt `v(t)=s'(t)=2,4t`

d

GeoGebra: `f(x)=1text(.)2x^2` en Afgeleide( `f` ).

Desmos: `f(x)=1text(.)2x^2` en `f'(x)` .

GR: afhankelijk van het merk.

e

`v(5)` is de snelheid op tijdstip `t=5` , de afgeleide waarde voor `t=5` en de helling van de grafiek voor `t=5` .

f

`v(5 )=2,4 *5 =12` m/s.

Opgave 2
a

Differentiequotiënt op `[5, 5+h]` :

`((5+h)^2 - 5^2)/h = 10 + h`

`h rarr 0` geeft `f'(5) = 10` .

b

Differentiequotiënt op `[x, x+h]` :

`((x+h)^2 - x^2)/h = 2x + h`

`h rarr 0` geeft `f'(x) = 2x` .

Hellingsgrafiek in GeoGebra: `f(x)=x^2` en Afgeleide( `f` ).

Hellingsgrafiek in Desmos: `f(x)= x^2` en `f'(x)` .

Hellingsgrafiek op de GR: afhankelijk van het merk.

c

`f'(2) = 2*5 = 10`

Opgave 3
a

`f'(x)` is dan positief.

b

Dan heeft de grafiek van `f` een raaklijn met richtingscoëfficiënt `0` .

c

`f'(x)` gaat dan van een negatief getal over in een positief getal.

d

Dan heeft de grafiek van `f` een steilste helling, een grootste richtingscoëfficiënt.

Opgave 4
a

Zie figuur.

b

`f'(x)=0` als `x=text(-)1 vv x=1`

Bij `x=text(-)1` is er een maximum en bij `x=1` een minimum.

c

max. `f(text(-)1 )=2` en min. `f(1 )=text(-)2`

d

`f'` heeft een minimum voor `x=0` .
Daar heeft de raaklijn aan de grafiek van `f` de kleinste richtingscoëfficiënt, daar is de momentane verandering van `f` het kleinst.

Opgave 5
a

`f'(x)=0` voor `x=0`

b

Bij `x=0` is er een nulpunt voor de afgeleide. Aan de grafiek van de afgeleide zie je dat de waarden van de helling voor en na het nulpunt van `f'(x)` altijd positief zijn. Er is dus geen sprake van tekenwisselling van de afgeleide en er is dus ook geen extreme waarde voor de grafiek.

Opgave 6
a

`(Δy) / (Δx) = (4 -0,25 (x+h) ^2-(4 -0,25 x^2)) / (x+h-x) = (text(-)0,5 xh-0,25 h^2) /h = text(-)0,5 x-0,25 h`

Met `h rarr 0` krijg je `f'(x)=text(-)0,5x` .

b

Er moet gelden dat `f'(x)=text(-)0,5x=text(-)2` voor een bepaalde waarde van `x` . Dat is het geval als `x=4` . Het punt `(4 , f(4 ))=(4 , 0 )` ligt ook op de lijn `y=text(-)2 x+8` . En dus is deze lijn de raaklijn van de grafiek van `f` voor `x=4` .

Opgave 7

`(Δy) / (Δx) = (c-c) /h=0` voor elke `h≠0`

Opgave 8
a

Door die `+200` zijn de functiewaarden nogal groot, ook bij `x` -waarden rondom `0` .

b

Omdat die `+200` geen invloed heeft op de hellingen van de raaklijnen. Die worden dus niet ineens heel veel groter door die `+200` .

c

De hellingsgrafiek is hetzelfde als die in het Voorbeeld 2. Dus:

  • min. `f(text(-)1) = 199`

  • max. `f(0) = 200`

  • min. `f(1) = 199`

Opgave 9
a

GeoGebra: `f(x) = 1000 - 3x^2 + x^3` en Afgeleide( `f` ).

Desmos: `f(x) = 1000 - 3x^2 + x^3` en `f'(x)` .

GR: afhankelijk van het merk.

b

`f'(x) = 0` geeft `x=0 vv x=2` .

c
  • max. `f(0) = 1000`

  • min. `f(2) = 996`

Opgave 10
a

Differentiequotiënt op `[q,q+h]` is:

`(Delta R)/(Delta q) = (text(-)(q+h)^2+24 (q+h) - (text(-)q^2+24 q))/(h) = (text(-)2q + h^2 + 24h)/h = text(-)2q + h + 24`

`h rarr o` geeft `R'(q) = text(-)2q + 24` .

b

Als `R' gt 0` is de grafiek van `R` stijgend.

Als `R' lt 0` is de grafiek van `R` dalend.

c

`R'(q) = text(-)2q + 24` geeft `2q = 24` en dus `q=12` .

Opgave 11
a

Laat eerst met behulp van een differentiequotiënt op `[q, q+h]` zien, dat `K'(q) = 0,2q + 0,7` .

Instellingen voor de assen bijvoorbeeld: `[0, 30]xx[0,10]` .

b

Als `q≥0` dan is `K'(q)≥0` .

Opgave 12
a

Het differentiequotiënt op `[2, 2+h]` is:

`(Δy)/(Δx) = (3(2+h)^2+5-17)/(h) = (12h + 3h^2)/h = 12+3h`

Met `h rarr 0` vind je `f'(2)=12` .

b

`(Δy)/(Δx) = (3(x+h)^2+5-(3x^2+5))/(x+h-x) = ( 3x^2+6xh+3h^2+5-3x^2-5)/h = (6xh+3h^2)/h = 6x+3h`

Met `h rarr 0` vind je `f'(x)=6x` .

c

`f'(2)=6*2=12`

Opgave 13
a

GeoGebra: `f(x) = x^4 - 4x^3 + 10` en Afgeleide( `f` ).

Desmos: `f(x) = x^4 - 4x^3 + 10` en `f'(x)` .

GR: afhankelijk van het merk.

b

`f'(x) = 0` geeft `x=0 vv x=3` .

  • Voor `x = 0` is er geen extreme waarde omdat `f'` daar niet van teken wisselt.

  • min. `f(3) = text(-)17`

c

`f'(1 ) = text(-)8` , dus de vergelijking wordt `y = text(-)8x + b` .

`f(1 ) = 7` , dus `7 = text(-)8*1 + b` geeft `b = 15` .

Vergelijking raaklijn: `y = text(-)8x + 15` .

Opgave 14
a

`(Δs) / (Δt)=(s(10 )-s(0 )) /10 = (4,9*100 - 4,9*0)/10 = 49`

De gemiddelde snelheid is `49` m/s.

b

`(Δs) / (Δt) = (4,9 (10 +h) ^2-4,9 *10^2) /h=(98h+4,9h^2)/h=98+4,9h`

Als `h rarr 0` krijg je de snelheid na `10` s. Deze snelheid is dus `98` m/s en dat is groter dan de gemiddelde snelheid van `49` m/s.

c

`(Δs) / (Δt) = (4,9(t+h) ^2-4,9t^2) /(t+h-h)= (4,9(t^2+2th+h^2)-4,9t^2) /h= (9,8th+4,9h^2) /h =9,8t+4,9h`

Als `h` naar `0` nadert, krijg je `s'(t)=v(t)=9,8t` .

d

`120` km/h = `33 1/3` m/s en `s'(t)=9,8 t=33 1/3` geeft `t≈3,4` .

Na ongeveer `3,4` seconden beweegt het lichaam in vrije val.

Opgave 15
a

GeoGebra: `f(x) = text(-)3x^2 + 200x - 300` en Afgeleide( `f` ).

Desmos: `f(x) = text(-)3x^2 + 200x - 300` en `f'(x)` .

GR: afhankelijk van het merk.

b

`W'(50)` is de verandering van de winst in honderden euro per verandering van `100` stuks van de productie in de buurt van een productie van `5000` stuks.

Dus: het is de verandering van de winst in honderden euro bij een toename van `q ` met `1` in de buurt van een productie van `5000` stuks.

Of: het is de extra winst van een extra product in de buurt van `5000` stuks.

Of economisch: het is de marginale winst.

c

`W'(q) = 0` als `q= 33 1/3` (gebruik de grafiek bij a).

Er is een maximum bij `q=33 1/3` , dus de maximale opbrengst treedt op bij een verkoop van `3333` stuks per jaar.

`W(33,33) =3033,3333 `

De maximale winst is € 303333,33.

Opgave 16

`x=text(-)0,7`

Opgave A1
a

Antwoord 1.

b

Antwoord 2.

Opgave A2
a

Antwoord 1.

b

Antwoord 2.

Opgave T1
a

`(Δy) / (Δx)` = `3`

b

`f'(x)=3 x` .

c

`f'(2 )=6`

d

`y=6 x-2`

Opgave T2
a

Gebruik GeoGebra, Desmos of een GR.

b

`TO'(5 )` is de snelheid waarmee de opbrengst verandert voor `q =5` .

c

Bekijk de grafiek van `TO'` .
`TO'(q)=0` als `q=7,5` .
`TO'` gaat daar van positief naar negatief en `TO` heeft er een maximum.

De maximale opbrengst treedt op bij een verkoop van `750` auto's per jaar.

verder | terug