Het hellingsgetal van een grafiek voor een bepaalde waarde van `x` , zeg `a` , van een functie `f` bereken je met het differentiequotiënt op `[a, a+h]` . Je herleid dit differentiequotiënt en neemt `h rarr 0` ( `h` mag ook negatief zijn). Als dit differentiequotiënt dan een bepaalde waarde nadert dan is die waarde

• het hellingsgetal of

• de afgeleide waarde of

• het differentiaalquotiënt

van `f(x)` voor `x=a` .

De afgeleide waarde van `f(x)` voor `x=a` schrijf je zo: `f'(a)` . Uitspraak: "f accent a" .

Of zo: `[(text(d)y)/(text(d)x)]_(x=a)` . Uitspraak: "dy dx als x is a" .

De afgeleide voor alle mogelijke waarden van `x` is `f'(x)` of `(text(d)y)/(text(d)x)`
Deze functie van `x` heet de afgeleide (functie) of hellingfunctie.

De afgeleide geeft bij iedere waarde van `x` (uit het domein) de helling van de functie voor die waarde van `x` . Dit getal is ook het hellingsgetal van de raaklijn in het punt met die waarde van `x` . Met GeoGebra, Desmos, of een grafische rekenmachine kun je bij een gegeven functie de grafiek van de afgeleide laten maken.

Veel functies hebben extremen. Dat zijn waarden waarbij de functie maximaal is of juist minimaal is. Je kunt die waarden niet altijd goed uit de grafiek van een functie aflezen, bijvoorbeeld omdat die grafiek niet gemakkelijk in beeld is te krijgen. Je bepaalt ze dan zo:

• Bepaal `f'(x)` en maak er een grafiek van.

• Bepaal de nulpunten van `f'(x)` .

• Als `f'(x)` van positief naar negatief gaat in zo'n nulpunt heeft `f` een maximum.

• Als `f'(x)` van negatief naar positief gaat in zo'n nulpunt heeft `f` een minimum.

Als de afgeleide niet van teken wisselt in een nulpunt, is er daar geen extreme waarde. In de grafiek van `f` is dan vaak een buigpunt met een horizontale raaklijn te zien.

Optimaliseren is het berekenen van extremen in praktijksituaties: minimale hoeveelheid materiaal bij een gegeven inhoud, het berekenen van een maximale oppervlakte van een stuk land bij een vaste lengte van de omheining, enzovoort.