Differentiëren > Het begrip afgeleideVoorbeeld 1
Gegeven is de functie
`f(x)=3x^2+4`
.
Stel een voorschrift op voor de afgeleide van deze functie. Stel met behulp daarvan
een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van
`f`
voor
`x=3`
.
Het differentiequotiënt van `f` voor willekeurige `x` op het interval `[x, x+h]` is gelijk aan:
`(Δy) / (Δx)=(3(x+h) ^2+4-(3x^2+4)) /h=(6xh+3h^2) /h=6x+3h`
Als `h rarr 0` krijg je de afgeleide: `f'(x)=6x` .
Wil je nu de vergelijking opstellen van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x =3` dan heb je het hellingsgetal nodig voor die waarde van `x` . De afgeleide is het hellingsgetal van de grafiek van `f` voor willekeurige `x` , dus het hellingsgetal van de raaklijn voor `x=3` is: `f'(3 )=6*3 =18`
De vergelijking van de raaklijn wordt daarmee: `y=18x+b`
`f(3)=31` , dus `31=18*3+b` en hieruit volgt `b=text(-)23` .
De vergelijking van de raaklijn is: `y=18x-23`
Gegeven is de functie `f(x)=4 -0,25 x^2` .
Met behulp van het differentiequotiënt op `[x,x+h]` kun je de afgeleide van de functie `f(x)` bepalen. Stel de formule van de afgeleide functie op. Laat duidelijk zien hoe je eraan komt.
De lijn met vergelijking `y=text(-)2 x+8` lijkt de grafiek te raken. Laat zien dat dit inderdaad het geval is.
Een constante functie heeft als voorschrift `f(x)=c` .
Toon aan dat de afgeleide van een constante functie altijd de waarde `0` heeft.