`(Delta y)/(Delta x) = ((x+h)^2 - x^2)/h = (2xh + h^2)/h = 2x + h`
`h rarr 0` geeft dan `f'(x) = 2x` .
`f'(x)` geeft voor elke `x` de helling van de grafiek en dus de momentane verandering van de grafiek. En dus stelt `f'(x)` ook de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in de bijbehorende `x` -waarde voor.
`(Delta y)/(Delta x) = ((x+h)^3 - x^3)/h = (3x^2 h + 3xh^2 + h^3)/h = 3x^2 + 3xh + h^2`
`h rarr 0` geeft dan `f'(x) = 3x^2` .
Bij `f(x) = x^4` hoort `f'(x) = 4x^3` .
Bij `f(x) = x^n` hoort `f'(x) = 4x^(n-1)` als `n` een geheel positief getal is.
`f'(x)=5*12 x^4=60 x^4`
`f'(x)=5*12 x^4+0 =60 x^4`
`f'(x)=5*12 x^4+3*20x^2=60 x^4+60 x^2`
`f'(x)=2*12x^(2-1)+4*x^(1-1)+0=24x+4`
`g'(x)=3*text(-)4x^(3-2)+5x^(1-1)=text(-)12x^2+5`
`h'(x)=10*5x^(10-1)+5*2x^(5-4)-3*3x^(3-2)=50x^9+10x^4-9x^2`
Zie de uitwerking in de uitleg.
`g(x) = 1/(x^2) = x^(text(-)2)`
`g'(x) = text(-)2 x^(text(-)3) = (text(-)2)/(x^3)`
`h(x) = root[3](x) = x^(1/3)`
`h'(x) = 1/3 x^(text(-) 2/3) = 1/(3 x^(2/3)) = 1/(3 root[3](x^2))`
`f(x) = x + 1/x = x + x^(text(-)1)`
`f'(x) = 1 - 1x^(text(-)2) = 1 - 1/(x^2)`
`f'(x) = 1 - 1/(x^2) = 0`
als
`1/(x^2)=1`
en dus
`x^2 = 1`
zodat
`x=+-1`
.
Met de grafiek van functie of van de afgeleide vind je:
max. `f(text(-)1) = text(-)2`
min. `f(1) = 2`
`f'(x)=30 x^2-60`
`g'(x)=2 -10 x-40 x^3`
`h'(x)=2 x^3-8 x`
`A'(d) = pi d + 10pi`
`k(x)=x^2(x-4 )=x^3-4 x^2`
`k'(x)=3 x^2-2*4 x^1 =3 x^2-8 x`
`P(x)=(x^2-4 )(x-4 )=x^3-4 x^2-4 x+16`
`P'(x)=3 x^2-2*4 x^1-1*4 x^0+0 =3 x^2-8 x-4`
`f'(x)=0,3 x^2-120`
`f'(x)=0,3 x^2-120 =0` kun je herleiden tot `x^2=400` en dus `x=text(-)20 vv x=20` .
max. `f(text(-)20)=1600` en min. `f(20 )=text(-)1600` .
`100 x^2=x^2 (x-10 ) ^2` geeft `x^2=0 vv 100=(x-10)^2` .
Dit geeft `x=0 vv text(-)10 = x-10 vv 10 = x-10` .
Zo vind je `x=0 vv x=20` .
De snijpunten zijn `(0 , 0 )` en `(20 , 40000 )` .
`g(x)=x^2(x^2-20x+100)= x^4-20x^3+100x^2`
`g'(x)=4 x^3-60 x^2+200 x=0`
`4x(x^2-15x+50)=0`
`4x=0 vv (x-5)(x-10)=0`
Dit geeft `x=0 ∨x=5 ∨x=10` .
Het tekenschema van `g'(x)` (of de grafiek van `g` ) bekijken geeft min. `f(0 )=0` , max. `f(5 )=625` en min. `f(10 )=0` .
Nu moet `f'(x) = g'(x)` , dus `200x = 4 x^3-60 x^2+200 x` .
Dit geeft `4x^3 - 60x^2 = 0` en `4x^2(x-15)=0` dus `x=0 vv x=15` .
`f(x)= 3/(x^2) - 2x = 3x^(text(-)2) - 2x^1`
`f'(x)=text(-)6x^(text(-)3) - 2x = (text(-)6)/(x^3) - 2`
`g(x) = 3/(sqrt(x)) = 3x^(text(-)1/2)`
`g'(x)= text(-)3/2 x^(text(-)1 1/2) = (text(-)3)/(2x^(1 1/2)) = (text(-)3)/(2xsqrt(x))`
`h(x)= x^2 - 2/x = x^2 - 2x^(text(-)1)`
`h'(x)= 2x + 2x^(text(-)2) = 2x + 2/(x^2)`
`K(p) = (300 + 5p)/p = 300/p + 5 = 300p^(text(-)1) + 5`
`K'(p) = text(-)300p^(text(-)2) + 0 = (text(-)300)/(p^2)`
`f(x) = x^2 + 2x^(text(-)1)`
`f'(x) = 2x - 2x^(text(-)2) = 2x - 2/(x^2)`
`f'(x) = 0` geeft `2x - 2/(x^2) = 0` , dus `2x = 2/(x^2)` zodat `x^3=1` en `x=1` .
Dus alleen voor `x=1` heeft `f` een extreme waarde, in dit geval een minimum.
`f'(2) = 4 - 2/4 = 3,5` dus de raaklijn wordt `y = 3,5x + b` .
`f(2) = 5` dus `5 = 3,5*2 + b` , zodat `b=text(-)2` .
De raaklijn wordt `y = 3,5x - 2` .
`2 *8^2+4 *8 *21 =800` cm2
`2 x^2+4 xh=800` geeft `h= (800 -2 x^2) / (4 x)`
`I=x^2 *h`
Je weet dat `h= (800 -2 x^2) / (4 x)` , dus
`I=x^2*(800 -2 x^2) / (4 x)= 200x-1/2x^3`
`I'(x)=200 -1 1/2x^2=0` geeft `x=sqrt(133 1/3)≈11,547` cm.
Voor `x=sqrt(133 1/3)≈11,547` cm is de inhoud maximaal.
De afmetingen zijn `11,5` bij `11,5` bij `11,5` cm.
`f'(x)=3 x^2-4` en `f'(1 )=text(-)1`
`g'(x)=4 x^3+6 x^2-10 x+12` en `g'(1 )=12`
`s'(t)=60 -9,8 t` en `s'(1 )=50,2`
`(text(d)TW) / (text(d)q) =1,5 q^2-12 q-25` en `TW'(1 ) =text(-)35,5`
`TK(p) = 8,5 + 200/(p^2) = 8,5 + 200p^(text(-)2)`
`TK'(p) = 0 - 400p^(text(-)3) = (text(-)400)/(p^3)` en `TK'(1 ) =text(-)400`
`h(x) = 2sqrt(x) - 4x = 2x^(1/2) - 4x`
`h'(x) = x^(text(-)1/2) - 4 = 1/(sqrt(x)) - 4` en `h'(1 ) =text(-)3`
De nulpunten zijn `x=text(-)2` , `x=2` , `x=text(-)3` en `x=3` .
`f'(x)=4 x^3-26 x`
Het snijpunt is `(0, 40 )` .
De oplossingen zijn `x=0 vv x=text(-)sqrt(6,5) vv x=sqrt(6,5)` .
Je vindt daarmee de drie extreme waarden: max. `f(0 )=36` , min. `f(text(-)sqrt(6,5 ))=text(-)6,25` en min. `f(sqrt(6,5 ))=text(-)6,25` .
Het voorwerp is op een hoogte van `0,5` meter afgeschoten.
`h'(0 )=0,2`
Het is de snelheid waarmee `h` verandert voor `x=0` .
`h'(x)=0` bij het punt `(10; 1,5)` . Dit is de top.
De snelheid waarmee de hoogte van de baan verandert is op dat punt `0` . Maar er is ook een voorwaartse snelheidscomponent.
`f(x)=2x - 3sqrt(x) = 2x - 3x^(1/2)`
`f'(x)= 2 - 3/2 x^(text(-)1/2) = 2 - 3/(2sqrt(x))`
`f'(x) = 0` geeft `2 - 3/(2sqrt(x)) = 0` en `2 = 3/(2sqrt(x))` zodat `sqrt(x) = 0,75` en `x=0,5626` .
Grafiek: min. `f(0,5625)=text(-)1,125` .
De oppervlakte is
`2*l*h+2*l*b+2*h*b=120`
dm2.
Stel
`l=b=x`
, dan is de oppervlakte
`4xh+2x^2=120`
.
Druk
`h`
uit in
`x`
:
`h=(120-2x^2)/(4x)`
en dus
`h=30/x-1/2x`
.
De inhoud is dan uit te drukken in
`x`
alleen:
`I=x^2*(30/x-1/2x)=30x-1/2x^3`
.
Hiervan moet je de afgeleide berekenen en gelijkstellen aan
`0`
.
`I'(x)=30-3/2 x^2=0`
. Herleiden tot
`x^2=2/3*30=20`
.
Dit geeft
`x=sqrt20 vv x=text(-)sqrt20`
. De laatste waarde voldoet niet,
`x`
is immers positief.
De zijden bij een maximale inhoud zijn dan:
`b=l=sqrt20≈4,5`
dm en
`h= 4,5`
dm.
Het gaat om de snelheid waarbij `M` maximaal is.
`M'(v) = text(-)0,002792*v + 0,254 = 0` als `v = (0,254)/(0,002792) ~~ 91` mijl/uur.
`M(91) ~~ 1,53`
Ongeveer `3600/(1,53) ~~ 2347` L, dus ongeveer `2350` L.
`A(2) = 30100` , dus de totale dagopbrengst is dan `2*30100=60200` euro.
`D=T*A=T*(400T^2 - 9150T + 46800) = 400T^3 - 9150T^2 + 46800T`
`D'(T) = 1200T^2 - 18300T + 46800 = 0` als `T = 3,25 vv T = 12` (abc-formule).
`D` is maximaal als `T=3,25` euro.
`T` stijgt naar `1,05*2,40 = 2,52` euro.
`A(2,40) = 27144` en `A(2,52) ~~ 26282` .
Dat is een afname van `(27144-26282)/(27144)*100 ~~ 3,2` %.
`f'(x)=6 x^5+8`
`g'(x)=12 x^3-2/5x`
`h'(x)=3 x^2-4 x`
`k'(x) = 1/(2sqrt(x)) + 4/(x^3)`
max. `f(0 )=2557` en min. `f(20 )=text(-)19197443` .
`f'(x)=text(-)3x^2+6x+9` geeft `f'(0 )=9` .
`y=9 x` .
de punten `(text(-)1 , text(-)5 )` en `(3 , 27 )` .