Differentiëren > Differentiëren
123456Differentiëren

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`(Delta y)/(Delta x) = ((x+h)^2 - x^2)/h = (2xh + h^2)/h = 2x + h`

`h rarr 0` geeft dan `f'(x) = 2x` .

b

`f'(x)` geeft voor elke `x` de helling van de grafiek en dus de momentane verandering van de grafiek. En dus stelt `f'(x)` ook de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in de bijbehorende `x` -waarde voor.

c

`(Delta y)/(Delta x) = ((x+h)^3 - x^3)/h = (3x^2 h + 3xh^2 + h^3)/h = 3x^2 + 3xh + h^2`

`h rarr 0` geeft dan `f'(x) = 3x^2` .

d

Bij `f(x) = x^4` hoort `f'(x) = 4x^3` .

Bij `f(x) = x^n` hoort `f'(x) = 4x^(n-1)` als `n` een geheel positief getal is.

Opgave 1
a

`f'(x)=5*12 x^4=60 x^4`

b

`f'(x)=5*12 x^4+0 =60 x^4`

c

`f'(x)=5*12 x^4+3*20x^2=60 x^4+60 x^2`

Opgave 2
a

`f'(x)=2*12x^(2-1)+4*x^(1-1)+0=24x+4`

b

`g'(x)=3*text(-)4x^(3-2)+5x^(1-1)=text(-)12x^2+5`

c

`h'(x)=10*5x^(10-1)+5*2x^(5-4)-3*3x^(3-2)=50x^9+10x^4-9x^2`

Opgave 3
a

Zie de uitwerking in de uitleg.

b

`g(x) = 1/(x^2) = x^(text(-)2)`

`g'(x) = text(-)2 x^(text(-)3) = (text(-)2)/(x^3)`

b

`h(x) = root[3](x) = x^(1/3)`

`h'(x) = 1/3 x^(text(-) 2/3) = 1/(3 x^(2/3)) = 1/(3 root[3](x^2))`

Opgave 4
a

`f(x) = x + 1/x = x + x^(text(-)1)`

`f'(x) = 1 - 1x^(text(-)2) = 1 - 1/(x^2)`

b

`f'(x) = 1 - 1/(x^2) = 0` als `1/(x^2)=1` en dus `x^2 = 1` zodat `x=+-1` .
Met de grafiek van functie of van de afgeleide vind je:

  • max. `f(text(-)1) = text(-)2`

  • min. `f(1) = 2`

Opgave 5
a

`f'(x)=30 x^2-60`

b

`g'(x)=2 -10 x-40 x^3`

c

`h'(x)=2 x^3-8 x`

d

`A'(d) = pi d + 10pi`

e

`k(x)=x^2(x-4 )=x^3-4 x^2`

`k'(x)=3 x^2-2*4 x^1 =3 x^2-8 x`

f

`P(x)=(x^2-4 )(x-4 )=x^3-4 x^2-4 x+16`

`P'(x)=3 x^2-2*4 x^1-1*4 x^0+0 =3 x^2-8 x-4`

Opgave 6
a

`f'(x)=0,3 x^2-120`

b

`f'(x)=0,3 x^2-120 =0` kun je herleiden tot `x^2=400` en dus `x=text(-)20 vv x=20` .

c

max. `f(text(-)20)=1600` en min. `f(20 )=text(-)1600` .

Opgave 7
a

`100 x^2=x^2 (x-10 ) ^2` geeft `x^2=0 vv 100=(x-10)^2` .

Dit geeft `x=0 vv text(-)10 = x-10 vv 10 = x-10` .

Zo vind je `x=0 vv x=20` .

De snijpunten zijn `(0 , 0 )` en `(20 , 40000 )` .

b

`g(x)=x^2(x^2-20x+100)= x^4-20x^3+100x^2`

`g'(x)=4 x^3-60 x^2+200 x=0`

`4x(x^2-15x+50)=0`

`4x=0 vv (x-5)(x-10)=0`

Dit geeft `x=0 ∨x=5 ∨x=10` .

Het tekenschema van `g'(x)` (of de grafiek van `g` ) bekijken geeft min. `f(0 )=0` , max. `f(5 )=625` en min. `f(10 )=0` .

c

Nu moet `f'(x) = g'(x)` , dus `200x = 4 x^3-60 x^2+200 x` .

Dit geeft `4x^3 - 60x^2 = 0` en `4x^2(x-15)=0` dus `x=0 vv x=15` .

Opgave 8
a

`f(x)= 3/(x^2) - 2x = 3x^(text(-)2) - 2x^1`

`f'(x)=text(-)6x^(text(-)3) - 2x = (text(-)6)/(x^3) - 2`

b

`g(x) = 3/(sqrt(x)) = 3x^(text(-)1/2)`

`g'(x)= text(-)3/2 x^(text(-)1 1/2) = (text(-)3)/(2x^(1 1/2)) = (text(-)3)/(2xsqrt(x))`

c

`h(x)= x^2 - 2/x = x^2 - 2x^(text(-)1)`

`h'(x)= 2x + 2x^(text(-)2) = 2x + 2/(x^2)`

d

`K(p) = (300 + 5p)/p = 300/p + 5 = 300p^(text(-)1) + 5`

`K'(p) = text(-)300p^(text(-)2) + 0 = (text(-)300)/(p^2)`

Opgave 9
a

`f(x) = x^2 + 2x^(text(-)1)`

`f'(x) = 2x - 2x^(text(-)2) = 2x - 2/(x^2)`

`f'(x) = 0` geeft `2x - 2/(x^2) = 0` , dus `2x = 2/(x^2)` zodat `x^3=1` en `x=1` .

Dus alleen voor `x=1` heeft `f` een extreme waarde, in dit geval een minimum.

b

`f'(2) = 4 - 2/4 = 3,5` dus de raaklijn wordt `y = 3,5x + b` .

`f(2) = 5` dus `5 = 3,5*2 + b` , zodat `b=text(-)2` .

De raaklijn wordt `y = 3,5x - 2` .

Opgave 10
a

`2 *8^2+4 *8 *21 =800` cm2

b

`2 x^2+4 xh=800` geeft `h= (800 -2 x^2) / (4 x)`

c

`I=x^2 *h`

Je weet dat `h= (800 -2 x^2) / (4 x)` , dus

`I=x^2*(800 -2 x^2) / (4 x)= 200x-1/2x^3`

d

`I'(x)=200 -1 1/2x^2=0` geeft `x=sqrt(133 1/3)≈11,547` cm.

Voor `x=sqrt(133 1/3)≈11,547` cm is de inhoud maximaal.

e

De afmetingen zijn `11,5` bij `11,5` bij `11,5` cm.

Opgave 11
a

`f'(x)=3 x^2-4` en `f'(1 )=text(-)1`

b

`g'(x)=4 x^3+6 x^2-10 x+12` en `g'(1 )=12`

c

`s'(t)=60 -9,8 t` en `s'(1 )=50,2`

d

`(text(d)TW) / (text(d)q) =1,5 q^2-12 q-25` en `TW'(1 ) =text(-)35,5`

e

`TK(p) = 8,5 + 200/(p^2) = 8,5 + 200p^(text(-)2)`

`TK'(p) = 0 - 400p^(text(-)3) = (text(-)400)/(p^3)` en `TK'(1 ) =text(-)400`

f

`h(x) = 2sqrt(x) - 4x = 2x^(1/2) - 4x`

`h'(x) = x^(text(-)1/2) - 4 = 1/(sqrt(x)) - 4` en `h'(1 ) =text(-)3`

Opgave 12
a

De nulpunten zijn `x=text(-)2` , `x=2` , `x=text(-)3` en `x=3` .

b

`f'(x)=4 x^3-26 x`

c

Het snijpunt is `(0, 40 )` .

d

De oplossingen zijn `x=0 vv x=text(-)sqrt(6,5) vv x=sqrt(6,5)` .

e

Je vindt daarmee de drie extreme waarden: max. `f(0 )=36` , min. `f(text(-)sqrt(6,5 ))=text(-)6,25` en min. `f(sqrt(6,5 ))=text(-)6,25` .

Opgave 13
a

Het voorwerp is op een hoogte van `0,5` meter afgeschoten.

b

`h'(0 )=0,2`

c

Het is de snelheid waarmee `h` verandert voor `x=0` .

d

`h'(x)=0` bij het punt `(10; 1,5)` . Dit is de top.

e

De snelheid waarmee de hoogte van de baan verandert is op dat punt `0` . Maar er is ook een voorwaartse snelheidscomponent.

Opgave 14

`f(x)=2x - 3sqrt(x) = 2x - 3x^(1/2)`

`f'(x)= 2 - 3/2 x^(text(-)1/2) = 2 - 3/(2sqrt(x))`

`f'(x) = 0` geeft `2 - 3/(2sqrt(x)) = 0` en `2 = 3/(2sqrt(x))` zodat `sqrt(x) = 0,75` en `x=0,5626` .

Grafiek: min. `f(0,5625)=text(-)1,125` .

Opgave 15

De oppervlakte is `2*l*h+2*l*b+2*h*b=120` dm2.
Stel `l=b=x` , dan is de oppervlakte `4xh+2x^2=120` .
Druk `h` uit in `x` : `h=(120-2x^2)/(4x)` en dus `h=30/x-1/2x` .
De inhoud is dan uit te drukken in `x` alleen: `I=x^2*(30/x-1/2x)=30x-1/2x^3` .
Hiervan moet je de afgeleide berekenen en gelijkstellen aan `0` .
`I'(x)=30-3/2 x^2=0` . Herleiden tot `x^2=2/3*30=20` .
Dit geeft `x=sqrt20 vv x=text(-)sqrt20` . De laatste waarde voldoet niet, `x` is immers positief.
De zijden bij een maximale inhoud zijn dan: `b=l=sqrt20≈4,5` dm en `h= 4,5` dm.

Opgave A1Sportveld binnen atletiekbaan
Sportveld binnen atletiekbaan

Noem de straal van de cirkels aan weerszijden van het sportveld `r` . Het sportveld is een rechthoek met breedte `2r` en een lengte `l` .

De oppervlakte `A` van het sportveld bedraagt: `A=2rl` .

Gegeven is dat de omtrek van de atletiekbaan `O=2πr +2l=400` . Hieruit volgt dat `l=200-πr` .

Invullen in `A` : `A=2r(200-πr)=400r-2πr^2`

Voor een maximale oppervlakte moet `A'=0` zijn.

`A'=400-4πr=0` geeft `r=100/π` m. De breedte is `2r=200/π` m en de lengte is `200-100=100` m.

Opgave A2Een weiland tegen de stal
Een weiland tegen de stal

Noem de breedte `x` en de lengte `y` . De lengte van de omheining is `2x+y+(y-12)=200` , hieruit volgt `2x+2y=212` en dus `y=106-x` . De oppervlakte is `A=x*y= x*(106-x)=106x-x^2` . Differentiëren geeft `A'=106-2x` .

`A'=0` als `x=53` meter

De maximale oppervlakte is `53*(106-53)= 2809` m2.

Opgave A3Maximaal bakje
Maximaal bakje
a

`I=x (20 -2 x) ^2`

b

`0 < x < 10`

c

De maximale inhoud is `16000/27≈593` cm3.

Opgave A4Goten in ontwikkelingslanden
Goten in ontwikkelingslanden

Neem aan dat elke goot een zuivere balk is en dat de hoeveelheid water die er in past gelijk is aan de inhoud van die balk. Noem de breedte van de goot `x` en de hoogte `h` , beide in centimeter. De eis is dat de inhoud van de goot maximaal moet zijn.
Voor de inhoud van deze balk geldt: `I=x*200*h = 2xh` .
Voor de hoogte van de balk geldt: `h = 20-0,5x` .
Ga dat na.

Als je in de formule voor `I` de uitdrukking invult voor `h` , dan geeft dit: `I(x)=4000x-100x^2` .

Differentiëren: `I'(x) = 4000 - 200x` .

`I'(x) = 0` levert op `x=20` en dus `h=10` cm.

Opgave T1
a

`f'(x)=6 x^5+8`

b

`g'(x)=12 x^3-2/5x`

c

`h'(x)=3 x^2-4 x`

d

`k'(x) = 1/(2sqrt(x)) + 4/(x^3)`

Opgave T2

max. `f(0 )=2557` en min. `f(20 )=text(-)19197443` .

Opgave T3
a

`f'(x)=text(-)3x^2+6x+9` geeft `f'(0 )=9` .

b

`y=9 x` .

c

de punten `(text(-)1 , text(-)5 )` en `(3 , 27 )` .

verder | terug