Differentiëren > Differentiëren
123456Differentiëren

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`(Delta y)/(Delta x) = ((x+h)^2 - x^2)/h = (2xh + h^2)/h = 2x + h`

`h rarr 0` geeft dan `f'(x) = 2x` .

b

`f'(x)` geeft voor elke `x` de helling van de grafiek en dus de momentane verandering van de grafiek. En dus stelt `f'(x)` ook de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in de bijbehorende `x` -waarde voor.

c

`(Delta y)/(Delta x) = ((x+h)^3 - x^3)/h = (3x^2 h + 3xh^2 + h^3)/h = 3x^2 + 3xh + h^2`

`h rarr 0` geeft dan `f'(x) = 3x^2` .

d

Bij `f(x) = x^4` hoort `f'(x) = 4x^3` .

Bij `f(x) = x^n` hoort `f'(x) = 4x^(n-1)` als `n` een geheel positief getal is.

Opgave 1
a

`f'(x)=5*12 x^4=60 x^4`

b

`f'(x)=5*12 x^4+0 =60 x^4`

c

`f'(x)=5*12 x^4+3*20x^2=60 x^4+60 x^2`

Opgave 2
a

`f'(x)=2*12x^(2-1)+4*x^(1-1)+0=24x+4`

b

`g'(x)=3*text(-)4x^(3-2)+5x^(1-1)=text(-)12x^2+5`

c

`h'(x)=10*5x^(10-1)+5*2x^(5-4)-3*3x^(3-2)=50x^9+10x^4-9x^2`

Opgave 3
a

Zie de uitwerking in de uitleg.

b

`g(x) = 1/(x^2) = x^(text(-)2)`

`g'(x) = text(-)2 x^(text(-)3) = (text(-)2)/(x^3)`

b

`h(x) = root[3](x) = x^(1/3)`

`h'(x) = 1/3 x^(text(-) 2/3) = 1/(3 x^(2/3)) = 1/(3 root[3](x^2))`

Opgave 4
a

`f(x) = x + 1/x = x + x^(text(-)1)`

`f'(x) = 1 - 1x^(text(-)2) = 1 - 1/(x^2)`

b

`f'(x) = 1 - 1/(x^2) = 0` als `1/(x^2)=1` en dus `x^2 = 1` zodat `x=+-1` .
Met de grafiek van functie of van de afgeleide vind je:

  • max. `f(text(-)1) = text(-)2`

  • min. `f(1) = 2`

Opgave 5
a

`f'(x)=30 x^2-60`

b

`g'(x)=2 -10 x-40 x^3`

c

`h'(x)=2 x^3-8 x`

d

`A'(d) = pi d + 10pi`

e

`k(x)=x^2(x-4 )=x^3-4 x^2`

`k'(x)=3 x^2-2*4 x^1 =3 x^2-8 x`

f

`P(x)=(x^2-4 )(x-4 )=x^3-4 x^2-4 x+16`

`P'(x)=3 x^2-2*4 x^1-1*4 x^0+0 =3 x^2-8 x-4`

Opgave 6
a

`f'(x)=0,3 x^2-120`

b

`f'(x)=0,3 x^2-120 =0` kun je herleiden tot `x^2=400` en dus `x=text(-)20 vv x=20` .

c

max. `f(text(-)20)=1600` en min. `f(20 )=text(-)1600` .

Opgave 7
a

`100 x^2=x^2 (x-10 ) ^2` geeft `x^2=0 vv 100=(x-10)^2` .

Dit geeft `x=0 vv text(-)10 = x-10 vv 10 = x-10` .

Zo vind je `x=0 vv x=20` .

De snijpunten zijn `(0 , 0 )` en `(20 , 40000 )` .

b

`g(x)=x^2(x^2-20x+100)= x^4-20x^3+100x^2`

`g'(x)=4 x^3-60 x^2+200 x=0`

`4x(x^2-15x+50)=0`

`4x=0 vv (x-5)(x-10)=0`

Dit geeft `x=0 ∨x=5 ∨x=10` .

Het tekenschema van `g'(x)` (of de grafiek van `g` ) bekijken geeft min. `f(0 )=0` , max. `f(5 )=625` en min. `f(10 )=0` .

c

Nu moet `f'(x) = g'(x)` , dus `200x = 4 x^3-60 x^2+200 x` .

Dit geeft `4x^3 - 60x^2 = 0` en `4x^2(x-15)=0` dus `x=0 vv x=15` .

Opgave 8
a

`f(x)= 3/(x^2) - 2x = 3x^(text(-)2) - 2x^1`

`f'(x)=text(-)6x^(text(-)3) - 2x = (text(-)6)/(x^3) - 2`

b

`g(x) = 3/(sqrt(x)) = 3x^(text(-)1/2)`

`g'(x)= text(-)3/2 x^(text(-)1 1/2) = (text(-)3)/(2x^(1 1/2)) = (text(-)3)/(2xsqrt(x))`

c

`h(x)= x^2 - 2/x = x^2 - 2x^(text(-)1)`

`h'(x)= 2x + 2x^(text(-)2) = 2x + 2/(x^2)`

d

`K(p) = (300 + 5p)/p = 300/p + 5 = 300p^(text(-)1) + 5`

`K'(p) = text(-)300p^(text(-)2) + 0 = (text(-)300)/(p^2)`

Opgave 9
a

`f(x) = x^2 + 2x^(text(-)1)`

`f'(x) = 2x - 2x^(text(-)2) = 2x - 2/(x^2)`

`f'(x) = 0` geeft `2x - 2/(x^2) = 0` , dus `2x = 2/(x^2)` zodat `x^3=1` en `x=1` .

Dus alleen voor `x=1` heeft `f` een extreme waarde, in dit geval een minimum.

b

`f'(2) = 4 - 2/4 = 3,5` dus de raaklijn wordt `y = 3,5x + b` .

`f(2) = 5` dus `5 = 3,5*2 + b` , zodat `b=text(-)2` .

De raaklijn wordt `y = 3,5x - 2` .

Opgave 10
a

`2 *8^2+4 *8 *21 =800` cm2

b

`2 x^2+4 xh=800` geeft `h= (800 -2 x^2) / (4 x)`

c

`I=x^2 *h`

Je weet dat `h= (800 -2 x^2) / (4 x)` , dus

`I=x^2*(800 -2 x^2) / (4 x)= 200x-1/2x^3`

d

`I'(x)=200 -1 1/2x^2=0` geeft `x=sqrt(133 1/3)≈11,547` cm.

Voor `x=sqrt(133 1/3)≈11,547` cm is de inhoud maximaal.

e

De afmetingen zijn `11,5` bij `11,5` bij `11,5` cm.

Opgave 11
a

`f'(x)=3 x^2-4` en `f'(1 )=text(-)1`

b

`g'(x)=4 x^3+6 x^2-10 x+12` en `g'(1 )=12`

c

`s'(t)=60 -9,8 t` en `s'(1 )=50,2`

d

`(text(d)TW) / (text(d)q) =1,5 q^2-12 q-25` en `TW'(1 ) =text(-)35,5`

e

`TK(p) = 8,5 + 200/(p^2) = 8,5 + 200p^(text(-)2)`

`TK'(p) = 0 - 400p^(text(-)3) = (text(-)400)/(p^3)` en `TK'(1 ) =text(-)400`

f

`h(x) = 2sqrt(x) - 4x = 2x^(1/2) - 4x`

`h'(x) = x^(text(-)1/2) - 4 = 1/(sqrt(x)) - 4` en `h'(1 ) =text(-)3`

Opgave 12
a

De nulpunten zijn `x=text(-)2` , `x=2` , `x=text(-)3` en `x=3` .

b

`f'(x)=4 x^3-26 x`

c

Het snijpunt is `(0, 40 )` .

d

De oplossingen zijn `x=0 vv x=text(-)sqrt(6,5) vv x=sqrt(6,5)` .

e

Je vindt daarmee de drie extreme waarden: max. `f(0 )=36` , min. `f(text(-)sqrt(6,5 ))=text(-)6,25` en min. `f(sqrt(6,5 ))=text(-)6,25` .

Opgave 13
a

Het voorwerp is op een hoogte van `0,5` meter afgeschoten.

b

`h'(0 )=0,2`

c

Het is de snelheid waarmee `h` verandert voor `x=0` .

d

`h'(x)=0` bij het punt `(10; 1,5)` . Dit is de top.

e

De snelheid waarmee de hoogte van de baan verandert is op dat punt `0` . Maar er is ook een voorwaartse snelheidscomponent.

Opgave 14

`f(x)=2x - 3sqrt(x) = 2x - 3x^(1/2)`

`f'(x)= 2 - 3/2 x^(text(-)1/2) = 2 - 3/(2sqrt(x))`

`f'(x) = 0` geeft `2 - 3/(2sqrt(x)) = 0` en `2 = 3/(2sqrt(x))` zodat `sqrt(x) = 0,75` en `x=0,5626` .

Grafiek: min. `f(0,5625)=text(-)1,125` .

Opgave 15

De oppervlakte is `2*l*h+2*l*b+2*h*b=120` dm2.
Stel `l=b=x` , dan is de oppervlakte `4xh+2x^2=120` .
Druk `h` uit in `x` : `h=(120-2x^2)/(4x)` en dus `h=30/x-1/2x` .
De inhoud is dan uit te drukken in `x` alleen: `I=x^2*(30/x-1/2x)=30x-1/2x^3` .
Hiervan moet je de afgeleide berekenen en gelijkstellen aan `0` .
`I'(x)=30-3/2 x^2=0` . Herleiden tot `x^2=2/3*30=20` .
Dit geeft `x=sqrt20 vv x=text(-)sqrt20` . De laatste waarde voldoet niet, `x` is immers positief.
De zijden bij een maximale inhoud zijn dan: `b=l=sqrt20≈4,5` dm en `h= 4,5`  dm.

Opgave A1Charles Lindbergh
Charles Lindbergh
a

Het gaat om de snelheid waarbij `M` maximaal is.

`M'(v) = text(-)0,002792*v + 0,254 = 0` als `v = (0,254)/(0,002792) ~~ 91` mijl/uur.

b

`M(91) ~~ 1,53`

Ongeveer `3600/(1,53) ~~ 2347` L, dus ongeveer `2350` L.

Opgave A2Toltunnel
Toltunnel
a

`A(2) = 30100` , dus de totale dagopbrengst is dan `2*30100=60200` euro.

b

`D=T*A=T*(400T^2 - 9150T + 46800) = 400T^3 - 9150T^2 + 46800T`

c

`D'(T) = 1200T^2 - 18300T + 46800 = 0` als `T = 3,25 vv T = 12` (abc-formule).

`D` is maximaal als `T=3,25` euro.

d

`T` stijgt naar `1,05*2,40 = 2,52` euro.

`A(2,40) = 27144` en `A(2,52) ~~ 26282` .

Dat is een afname van `(27144-26282)/(27144)*100 ~~ 3,2` %.

Opgave T1
a

`f'(x)=6 x^5+8`

b

`g'(x)=12 x^3-2/5x`

c

`h'(x)=3 x^2-4 x`

d

`k'(x) = 1/(2sqrt(x)) + 4/(x^3)`

Opgave T2

max. `f(0 )=2557` en min. `f(20 )=text(-)19197443` .

Opgave T3
a

`f'(x)=text(-)3x^2+6x+9` geeft `f'(0 )=9` .

b

`y=9 x` .

c

de punten `(text(-)1 , text(-)5 )` en `(3 , 27 )` .

verder | terug