Differentiëren > DifferentiërenVoorbeeld 3
Een timmerman maakt voor een klant een houten kist met deksel. Voor die kist gebruikt hij `192` dm2 hout. De lengte van de kist moet twee keer zo groot zijn als de breedte. Bij welke afmetingen heeft de doos een maximale inhoud?
Neem aan dat de kist de vorm van een balk heeft.
De inhoud van een balk met afmetingen `lxxbxxh` is: `I = l*b*h` .
Neem je `b=x` dan is `l=2x` , dus `I=2x^2h` .
Voor de oppervlakte van de kist geldt `A=4x^2+6xh=192` .
Je wilt de inhoud maximaliseren. Dus maak je daarvan een functie door beide formules
te combineren.
Uit
`4x^2+6xh=192`
volgt
`h=(192-4x^2)/(6x)`
De inhoud (in dm3) is dan:
`I=2x^2h=2x^2*(192-4x^2)/(6x)=64x-1 1/3x^3`
.
Bekijk de grafiek van `I(x)` .
Omdat
`x gt 0`
heeft de grafiek van
`I`
alleen een maximum, dat je met behulp van differentiëren kunt bepalen.
`I'(x)=64-4x^2=0`
geeft
`x^2=16`
en dus
`x=4`
.
Dus als `x=4` is de inhoud maximaal. Dit betekent dat als de doos `8` dm lang, `4` dm breed en `5 1/3` dm hoog is, de inhoud maximaal is.
Een fabrikant verpakt zijn hagelslag al jaren in doosjes met een vierkante bodem van `8` bij `8` cm. Ze hebben precies de vorm van een balk met een hoogte van `21` cm. De fabrikant vraagt zich nu af of hij de inhoud van het doosje kan vergroten door de afmetingen anders te kiezen, zonder meer karton te gebruiken. Het gaat er dus om de inhoud zo groot mogelijk te maken bij een gelijkblijvende oppervlakte. Het grondvlak blijft vierkant. Welke afmetingen moet hij kiezen?
Hoeveel karton heeft de fabrikant nodig voor zijn huidige doosjes?
Noem de zijde van het vierkante grondvlak `x` . Druk de hoogte `h` uit in `x` .
Druk de inhoud `I` uit in de `x` .
Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van `x` de inhoud maximaal is.
Bepaal de afmetingen van de doosjes met een maximale inhoud. Geef je antwoord in centimeters afgerond op één cijfer achter de komma.