Differentiëren > De kettingregel
123456De kettingregel

Uitleg

Soms bestaat een functievoorschrift uit een serie geschakelde functies.
Bijvoorbeeld: `S(x)= (3 x+1) ^2`
Een functiewaarde `S(x)` bereken je in twee stappen met functies `g` en `f` :

  • `g(x)=3 x+1`

  • `f(g(x))= (g(x)) ^2`

De functie `f(x)= (3 x+1 ) ^2 = (g(x)) ^2=f(g(x))` heet een samengestelde functie of kettingfunctie:

`x stackrel {: text( ) g(x) text( ) :} (->) 3x+1 stackrel {: text( ) f(g(x))text( ) :} (->) (3x+1)^2`

Deze kettingfunctie kun je niet zo maar differentiëren met de machtsregel:
`f'(x)≠2 (3 x+1) ^1=6 x+2`

Dat zie je door bij de functie `S` eerst de haakjes weg te werken en dan pas te differentiëren.
`f(x)=9 x^2+6 x+1` en `f'(x)=18 x+6`

Er is ook een andere manier.

Schrijf `g(x)=3x+1=u` en `f(u)=u^2` . Dan is `f(x)=f(g(x))` .

Het differentiëren van `S` gaat als volgt:

  • Bepaal de afgeleide van `f(u)` : `f '(u)=2u`

  • Bepaal de afgeleide van `g(x)` : `g'(x)=3`

  • De afgeleide van `S` is het product van bovenstaande twee afgeleides:
    `S'(x)= f '(u) * g'(x) = 2u^1 * 3 = 2*(3x+1)^1 * 3 = 6(3x+1) = 18x+6`

In het algemeen geldt dat als `f(x)=f(g(x))` dan is `f'(x)=f'(g(x))*g'(x)` .

Dit is de kettingregel voor differentiëren.

Opgave 1

Gegeven is de functie: `f(x)=(3x^2+1)^2`

a

Waarom is `f` een samengestelde functie? Waaraan herken je dat?

b

De functie `f(x)` kan geschreven worden als `f(u)=f(g(x))` . Geef `g(x)=u` en `f(u)` .

c

Bepaal `g'(x)` en `f'(u)` .

d

Bepaal de afgeleide van `f(x)` met de kettingregel.

Opgave 2

Gegeven is functie: `g(x)=(3x^2+2x)^4`

a

Deze functie kun je zien als een samenstelling van twee functies. Welke twee functies?

b

Bepaal met behulp van de kettingregel de afgeleide van `g` .

verder | terug