Differentiëren > De kettingregel
123456De kettingregel

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Je schakelt als het ware twee functies na elkaar: eerst "met 7 vermenigvuldigen" en daarna "worteltrekken" .

b

Je kunt dit vinden door de functie in GeoGebra, Desmos, of een grafische rekenmachine in de voeren en de helling van de grafiek op te vragen.

c

Wellicht kun je dat nu nog niet, hoewel je de functie kunt herleiden. In dit onderdeel leer je hoe je dergelijke samengestelde functies kunt differentiëren zonder ze eerst te herleiden.

Opgave 1
a

Het functievoorschrift is op te delen in afzonderlijke schakels. Je ziet dat aan het feit dat er maar op één plek een `x` in het voorschrift voorkomt.

b

`g(x)=3x^2+1` en `f(u)=u^2`

c

`g'(x)=6x` en `f'(u)=2u`

d

`f'(x)= 2(3x^2+1)*6x = 36x^3+12x`

Opgave 2
a

`g(x)=h(u(x))` met `h(u)=u^4` en `u(x)=3x^2+2x`

b

`g'(x)=4(3x^2+2x)^3*(6x+2)=(24x+8)(3x^2+2x)^3`

Opgave 3
a

`f(u)=sqrt(u)=u^(1/2)`

`f'(u)=1/2u^(text(-)1/2)=1/(2*sqrt(u))`

b

`f'(x)= 1/(2 sqrt(u)) * u'(x) = 1/(2 sqrt(x^2-4)) * 2x = x/(sqrt(x^2-4))`

Opgave 4
a

`f(u) = 1/u = u^(text(-)1)` en `f'(u) = text(-)1u^(text(-)2) = text(-) 1/(u^2)` .

b

`f'(x)= f'(u)* g'(x) = text(-) 1/(u^2) * 2x = text(-) 2x/((x^2+3)^2)`

Opgave 5
a

`f(u)=u^8` en `u=g(x)= 3x-1`

b

`f'(u)=8 u^7` en `g'(x)=3` geeft `f'(x)=f'(g(x))*g'(x)=8 (g(x)) ^7*3=24 (3x-1) ^7` .

Opgave 6
a

`f(g(x))= sqrt(x^2+x)`

b

`f'(x)= 1/(2sqrt(u))*g'(x) = 1/(2sqrt(x^2+x))*(2x+1) = (2x+1)/(2sqrt(x^2+x))`

Opgave 7
a

Neem `u=g(x)=x^2+3` dan is `f(u) = 4/u = 4u^(text(-)1)` .

`f'(x) = f'(u) * g'(x) = text(-)4u^(text(-)2)*2x = (text(-)8x)/((x^2+3)^2)` .

b

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn voor `x=1` aan de grafiek van de functie is `f'(1) = (text(-)8)/(4^2) = text(-)0,5` .
Dus de raaklijn wordt `y = text(-)0,5x + b` .

Het raakpunt vind je met `f(1) = 1` .
Het raakpunt is `(1, 1)` . Dit vul je in `y = text(-)0,5x + b` in: `1 = text(-)0,5*1 + b` . Dus `b = 1,5` .

De raaklijn wordt: `y = text(-)0,5x + 0,5` .

b

`f'(0) = 0/(3^2) = 0` en de afgeleide wisselt in `x=0` van positief naar negatief.

Max. `f(0) = 4/3` .

Opgave 8
a

Vanwege de wortelvorm moet `9-x^2 ge 0` .
En `9-x^2=0` geeft `x^2=9` en dus `x=+-3` . Hieruit vind je het domein.

b

`f'(x) = (text(-)x) / (sqrt(9 -x^2)) = 0` geeft `x = 0*sqrt(9-x^2) = 0` .

Opgave 9
a

Maak de grafiek met GeoGebra, Desmos, of een grafische rekenmachine.
`text(D)_f=[text(-)5, 5]` en `text(B)_f=[0, 5]`

b

`f'(x)=1/2 (25 -x^2) ^ (text(-) 1/2) *(text(-)2 x)= (text(-) x) / (sqrt(25 -x^2))`

c

`f'(0)=0` voor `x=0`

max. `f(0)=5`

d

`f'(3 )=text(-)3/4` en `f(3)=4` geeft voor de raaklijn `y=text(-) 3/4x+6 1/4`

Opgave 10
a

`f'(x)=4(x^2-100 )^3*2x=8x(x^2-100)^3`

b

`g'(x)=3(1-x)^3*text(-)1=text(-)3(1-x)^2`

c

`h'(x)=3*25(2-4x)^2*text(-)4=text(-)300(2-4x)^2`

d

`A'(r) = 4pi r + pi(5+2r)^1 * 2 = 4pi r + 2pi(5+2r) = 10pi + 8pi r`

Opgave 11

`f(x)=3x^(1/4)` geeft `f'(x)=3/4x^(text(-)3/4)`

Omdat `f'(1)=3/4` wordt de raaklijn `y = 3/4 x + b` .

Omdat `f(1) = 3` krijg je uiteindelijk `y = 3/4 x + 2 1/4` .

Opgave 12
a

`f(x)= sqrt(3x) = (3x)^(1/2)`

`f'(x) = 1/2 (3x)^(text(-)1/2) * 3 = 1,5 * 1/(sqrt(3x)) = (1,5)/(sqrt(3x))`

b

`g(x)=1/x^3+4/x^2-3/x+1=x^(text(-)3)+4x^(text(-)2)-3x^(text(-)1)+1`

`g'(x)=text(-)3/x^4-8/x^3+3/x^2`

c

`h'(x)=2 * (1 -sqrt(x)) ^1*(text(-)1)/(2sqrt(x)) = (text(-)1 + sqrt(x))/(sqrt(x))`

d

`j(x)=2 x-5/ (1 -x)=2x-5(1-x)^(text(-)1)`

`j'(x)=2 -5/(1 -x)^2`

Opgave 13
a

`f'(x)=text(-)3(2x-6)^2*2=text(-)6(2x-6)^2`

`f'(x) le 0` voor alle waarden van `x` en `f'(x)=0` als `x=3` .

De grafiek van `f` is daarom dalend voor elke waarde van `x` behalve voor `x=3` .

b

`f'(2 )=text(-)24` en `f(2)=12`

Vergelijking raaklijn: `y=text(-)24x+60`

`x=0` geeft `y=60` , dus `P(0, 60)` .

Opgave 14
a

`(8-x^2) ge 0` geeft `text(-)sqrt(8) le x le sqrt(8)`

`text(D)_f=[text(-) sqrt(8 ),sqrt(8 )]`

b

Het minimum ligt op de rand van het domein: min. `f(text(-) sqrt(8 ))=text(-) sqrt(8 )` .
Het maximum bepaal je met behulp van differentiëren.

`f'(x)` `=` `1 -x/ (sqrt(8 -x^2)) =0`
`sqrt(8 -x^2)` `=` `x`
`8-x^2` `=` `x^2`
`x^2` `=` `4`

`x=2` ( `x=text(-)2` vervalt)

Je vindt: max. `f(2 )=4` . Het bereik is `text(B)_f=[text(-) sqrt(8), 4]` .

c

`A(text(-) sqrt(8 ), text(-)sqrt(8 ))` en `B=(sqrt(8 ),sqrt(8 ))` .
De helling van lijn `AB` is gelijk aan `1` .
Los op: `f'(x)=1`

`f'(x)=1 -x/ (sqrt(8 -x^2)) =1` geeft `x=0`

Opgave A1Coopertest
Coopertest
a

Rob loopt met constante snelheid.

b

`~~4,17` m/s

c

Na `~~2,7` min.

d

`~~4,17` m/s, dus hetzelfde als Rob!

e

`~~2,79` m/s

Opgave A2Waterleiding aanleggen
Waterleiding aanleggen
a

`600 *30 +500 *70 =53000` euro.

b

`sqrt(600^2+500^2)*70 ≈54671,75` euro.

c

`K(x)=30 (600 -x)+70 sqrt(500^2+x^2)`

d

De minimale kosten vind je met behulp van `K'(x)=text(-)30 + (70 x) / (sqrt(500^2+x^2)) =0` .
`sqrt(500^2+x^2)=7/3x`

`40/9x^2=250000`

`x≈237`
Je kunt dus het beste eerst ongeveer `600-273=363` m langs de straat graven en daarna door het veld recht naar `C` graven.

Opgave A3Ladder over een schutting
Ladder over een schutting

`ΔABC` is gelijkvormig met `ΔADE` , dus `x/ (x+1) =3/ (DE)` zodat `DE= (3 x+3) /x=3 +3/x` .
De lengte van de ladder is `L(x)=sqrt( (x+1) ^2+ (3 +3/x) ^2)` .
Met behulp van differentiëren bepaal je nu het minimum van `l(x)= (x+1)^2 + (3 +3/x)^2` .
Je vindt een minimale lengte van `7,56` m.

Opgave T1
a

`f'(x) = 36 (1 + 2x) ^2`

b

`y'(x)=text(-)16 (1 -4 x) ^3`

c

`R'(t)=(7,5)/ (πsqrt(15/πt))`

d

`f'(x)= (4 x) / (sqrt(10 +4 x^2))`

e

`K'(p)=text(-)3/ (p^2sqrt(p))`

f

`f'(x)=3 x^2+2 +3/ (2 xsqrt(x)) -2/x^3`

Opgave T2
a

`text(D)_f = [text(-)2 ,→〉`

b

`f'(x)=2 -1/ (2 sqrt(x+2 ))`

c

Min. `f(text(-)1 1/2)=text(-)3 +1/2sqrt(2 )` .

d

`text(B)_f=[text(-)3 +1/2sqrt(2 ),→〉`

e

`f'(0 )=2 -1/ (2 sqrt(2 )) ≈1,65` .

verder | terug