Antwoord 1.
Antwoord 2.
Het functievoorschrift is op te delen in afzonderlijke schakels. Je ziet dat aan het feit dat er maar op één plek een `x` in het voorschrift voorkomt.
`g(x)=3x^2+1` en `f(u)=u^2`
`g'(x)=6x` en `f'(u)=2u`
`f'(x)= 2(3x^2+1)*6x = 36x^3+12x`
`g(x)=h(u(x))` met `h(u)=u^4` en `u(x)=3x^2+2x`
`g'(x)=4(3x^2+2x)^3*(6x+2)=(24x+8)(3x^2+2x)^3`
`f(u)=sqrt(u)=u^(1/2)`
`f'(u)=1/2u^(text(-)1/2)=1/(2*sqrt(u))`
`f'(x)= 1/(2 sqrt(u)) * u'(x) = 1/(2 sqrt(x^2-4)) * 2x = x/(sqrt(x^2-4))`
`f(u) = 1/u = u^(text(-)1)` en `f'(u) = text(-)1u^(text(-)2) = text(-) 1/(u^2)` .
`f'(x)= f'(u)* g'(x) = text(-) 1/(u^2) * 2x = text(-) 2x/((x^2+3)^2)`
`f(u)=u^8` en `u=g(x)= 3x-1`
`f'(u)=8 u^7` en `g'(x)=3` geeft `f'(x)=f'(g(x))*g'(x)=8 (g(x)) ^7*3=24 (3x-1) ^7` .
`f(g(x))= sqrt(x^2+x)`
`f'(x)= 1/(2sqrt(u))*g'(x) = 1/(2sqrt(x^2+x))*(2x+1) = (2x+1)/(2sqrt(x^2+x))`
Neem `u=g(x)=x^2+3` dan is `f(u) = 4/u = 4u^(text(-)1)` .
`f'(x) = f'(u) * g'(x) = text(-)4u^(text(-)2)*2x = (text(-)8x)/((x^2+3)^2)` .
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn voor
`x=1`
aan de grafiek van de functie is
`f'(1) = (text(-)8)/(4^2) = text(-)0,5`
.
Dus de raaklijn wordt
`y = text(-)0,5x + b`
.
Het raakpunt vind je met
`f(1) = 1`
.
Het raakpunt is
`(1, 1)`
. Dit vul je in
`y = text(-)0,5x + b`
in:
`1 = text(-)0,5*1 + b`
. Dus
`b = 1,5`
.
De raaklijn wordt: `y = text(-)0,5x + 0,5` .
`f'(0) = 0/(3^2) = 0` en de afgeleide wisselt in `x=0` van positief naar negatief.
Max. `f(0) = 4/3` .
Vanwege de wortelvorm moet
`9-x^2 ge 0`
.
En
`9-x^2=0`
geeft
`x^2=9`
en dus
`x=+-3`
.
Hieruit vind je het domein.
`f'(x) = (text(-)x) / (sqrt(9 -x^2)) = 0` geeft `x = 0*sqrt(9-x^2) = 0` .
Maak de grafiek met GeoGebra, Desmos, of een grafische rekenmachine.
`text(D)_f=[text(-)5, 5]`
en
`text(B)_f=[0, 5]`
`f'(x)=1/2 (25 -x^2) ^ (text(-) 1/2) *(text(-)2 x)= (text(-) x) / (sqrt(25 -x^2))`
`f'(0)=0` voor `x=0`
max. `f(0)=5`
`f'(3 )=text(-)3/4` en `f(3)=4` geeft voor de raaklijn `y=text(-) 3/4x+6 1/4`
`f'(x)=4(x^2-100 )^3*2x=8x(x^2-100)^3`
`g'(x)=3(1-x)^3*text(-)1=text(-)3(1-x)^2`
`h'(x)=3*25(2-4x)^2*text(-)4=text(-)300(2-4x)^2`
`A'(r) = 4pi r + pi(5+2r)^1 * 2 = 4pi r + 2pi(5+2r) = 10pi + 8pi r`
`f(x)=3x^(1/4)` geeft `f'(x)=3/4x^(text(-)3/4)`
Omdat `f'(1)=3/4` wordt de raaklijn `y = 3/4 x + b` .
Omdat `f(1) = 3` krijg je uiteindelijk `y = 3/4 x + 2 1/4` .
`f(x)= sqrt(3x) = (3x)^(1/2)`
`f'(x) = 1/2 (3x)^(text(-)1/2) * 3 = 1,5 * 1/(sqrt(3x)) = (1,5)/(sqrt(3x))`
`g(x)=1/x^3+4/x^2-3/x+1=x^(text(-)3)+4x^(text(-)2)-3x^(text(-)1)+1`
`g'(x)=text(-)3/x^4-8/x^3+3/x^2`
`h'(x)=2 * (1 -sqrt(x)) ^1*(text(-)1)/(2sqrt(x)) = (text(-)1 + sqrt(x))/(sqrt(x))`
`j(x)=2 x-5/ (1 -x)=2x-5(1-x)^(text(-)1)`
`j'(x)=2 -5/(1 -x)^2`
`f'(x)=text(-)3(2x-6)^2*2=text(-)6(2x-6)^2`
`f'(x) le 0` voor alle waarden van `x` en `f'(x)=0` als `x=3` .
De grafiek van `f` is daarom dalend voor elke waarde van `x` behalve voor `x=3` .
`f'(2 )=text(-)24` en `f(2)=12`
Vergelijking raaklijn: `y=text(-)24x+60`
`x=0` geeft `y=60` , dus `P(0, 60)` .
`(8-x^2) ge 0` geeft `text(-)sqrt(8) le x le sqrt(8)`
`text(D)_f=[text(-) sqrt(8 ),sqrt(8 )]`
Het minimum ligt op de rand van het domein: min.
`f(text(-) sqrt(8 ))=text(-) sqrt(8 )`
.
Het maximum bepaal je met behulp van differentiëren.
`f'(x)` | `=` | `1 -x/ (sqrt(8 -x^2)) =0` | |
`sqrt(8 -x^2)` | `=` | `x` | |
`8-x^2` | `=` | `x^2` | |
`x^2` | `=` | `4` |
`x=2` ( `x=text(-)2` vervalt)
Je vindt: max. `f(2 )=4` . Het bereik is `text(B)_f=[text(-) sqrt(8), 4]` .
`A(text(-) sqrt(8 ), text(-)sqrt(8 ))`
en
`B=(sqrt(8 ),sqrt(8 ))`
.
De helling van lijn
`AB`
is gelijk aan
`1`
.
Los op:
`f'(x)=1`
`f'(x)=1 -x/ (sqrt(8 -x^2)) =1` geeft `x=0`
Zie figuur.
`a=6(2)/3`
Er wordt voldaan aan de voorwaarde.
Rob loopt met constante snelheid.
`~~4,17` m/s
Na `~~2,7` min.
`~~4,17` m/s, dus hetzelfde als Rob!
`~~2,79` m/s
`600 *30 +500 *70 =53000` euro.
`sqrt(600^2+500^2)*70 ≈54671,75` euro.
`K(x)=30 (600 -x)+70 sqrt(500^2+x^2)`
De minimale kosten vind je met behulp van
`K'(x)=text(-)30 + (70 x) / (sqrt(500^2+x^2)) =0`
.
`sqrt(500^2+x^2)=7/3x`
`40/9x^2=250000`
`x≈237`
Je kunt dus het beste eerst ongeveer
`600-273=363`
m langs de straat graven en daarna door het veld recht naar
`C`
graven.
`f'(x) = 36 (1 + 2x) ^2`
`y'(x)=text(-)16 (1 -4 x) ^3`
`R'(t)=(7,5)/ (πsqrt(15/πt))`
`f'(x)= (4 x) / (sqrt(10 +4 x^2))`
`K'(p)=text(-)3/ (p^2sqrt(p))`
`f'(x)=3 x^2+2 +3/ (2 xsqrt(x)) -2/x^3`
`text(D)_f = [text(-)2 ,→〉`
`f'(x)=2 -1/ (2 sqrt(x+2 ))`
Min. `f(text(-)1 1/2)=text(-)3 +1/2sqrt(2 )` .
`text(B)_f=[text(-)3 +1/2sqrt(2 ),→〉`
`f'(0 )=2 -1/ (2 sqrt(2 )) ≈1,65` .