Differentiëren > De product- en de quotiëntregelToepassen
Een fabrikant loost zijn afvalstoffen in een meer. De kosten `K` in miljoenen euro om gedurende één jaar `x` % van de geloosde afvalstoffen te verwijderen, kunnen worden benaderd door:
`K(x) = (0,6x)/(100-x)`
Wat betekent in dit verband `K(60)` ?
Bereken de kosten om gedurende één jaar `60` % van de geloosde afvalstoffen te verwijderen.
Met hoeveel procent nemen de jaarlijkse kosten toe om in plaats van `60` % nu eens `70` % van de geloosde afvalstoffen te verwijderen?
Toon aan dat
`(text(d)K)/(text(d)x) = K'(x) = (60)/((100-x)^2)`
en leg uit dat
`K`
stijgend is op zijn domein, dus op het interval
`[0, 100:)`
.
Wat betekent dat in de praktijk?
In de formule van
`K`
kun je voor
`x`
geen
`100`
invullen.
Waarom niet? Wat is hiervan de betekenis in de praktijk?
Met welke snelheid (in miljoenen euro per procent) nemen de kosten toe als `90` % moet worden verwijderd?
In het najaar van 1993 zijn door de hoge waterstand in de Maas grote delen van Limburg overstroomd. Hoewel de burgemeester van het plaatsje Itteren de bevolking goed op de hoogte hield over de hoogte van het water (en over de verandering van de hoogte) was men zeer bevreesd. Achteraf blijkt het waterniveau als volgt beschreven te kunnen worden:
`H(t)=(4t)/(t^2+4)+2`
Hierin is:
-
`t` de tijd in dagen
-
`H` de waterstand in meters
Probeer eens globaal de grafiek te schetsen (voor `t ge 0` ). Bereken daartoe `H` voor `t=0` en voor `t rarr oo` en gebruik het beeld bij het zien van de stijgende en dalende waterhoogte.
Laat zien dat geldt: `H'(t)=(text(-)4t^2+16)/((t^2+4)^2)` .
Met de uitdrukking bij b kun je de maximale waterhoogte berekenen. Doe dat eens. Klopt dit met jouw grafiek?
De dijken bij Itteren zijn
`4`
m hoog. Op
`t=1`
zegt de burgemeester: "Als de stijgsnelheid van het water blijft zoals die nu is, dan overstromen onze dijken
over ..... dagen na heden."
Bereken wat er op ..... moet staan.
Kim (zeer goed in wiskunde) schrijft:
`t=1 rarr H=2,8`
m
`t=0 rarr H=2`
m
Dus stijging:
`0,8`
m/dag.
`(1,2)/(0,8)~~1,5`
dag.
Ben je het hiermee eens? Leg uit.