Differentiëren > De product- en de quotiëntregel
123456De product- en de quotiëntregel

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`f(x) = u(x)*v(x) = x^3 * x^4 = x^7` , dus `f'(x) = 7x^6` .

`u'(x)*v'(x) = 3x^2 * 4x^3 = 12x^5 != f'(x)` .

b

`f(x) = (u(x))/(v(x)) = (x^3)/(x^4) = x^(text(-)1)` , dus `f'(x) = text(-)x^(text(-)2) = text(-) 1/(x^2)` .

`(u'(x))/(v'(x)) = (3x^2)/(4x^3) = 3/(4x) != f'(x)` .

c

Dat je die om te kunnen differentiëren eerst moet herleiden tot eenvoudiger vormen, of er speciale differentieerregels voor moet verzinnen.

Opgave 1
a

`P(x)=x^7`

b

`P'(x)=7x^6`

c

`x^2*5x^4+2x*x^5=7x^6=P'(x)`

d

`A′(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)`

`f'(x)=12x` en `g'(x)=3x^2-5`

`A'(x)=12x*(x^3-5x)+6x^2*(3x^2-5)=30x^4-90x^2`

De productregel is niet noodzakelijk, je kunt ook eerst van functie `A` de haakjes wegwerken.

Opgave 2
a

`f(x)=3x-2` en `g(x)=sqrt(x)`

b

`h'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)`

`h'(x)=3*sqrt(x)+(3x-2)*1/(2sqrt(x))=3sqrt(x)+(3x-2)/(2sqrt(x))`

Opgave 3
a

`t'(x)=2` en `n'(x)=1` .

b

`g'(x)=(2*(x-1)-2x*1)/((x-1)^2) = text(-)2)/((x-1)^2)`

Opgave 4
a

`f'(x) = (1*(x-2) - x*1)/((x-2)^2) = (text(-)2)/((x-2)^2)`

b

`f'(x)` is altijd negatief omdat `(x-2)^2 gt 0` als `x!=2` .

c

`f'(0) = text(-)0,5` en `f(0) = 0` dus `y = text(-)0,5x` .

Opgave 5
a

Doen, bekijk daarna de uitwerking in het voorbeeld.

b

`f(x) = 2xsqrt(x) + sqrt(x) = 2x^(1 1/2) + x^(text(-)1/2)`

`f'(x) = 3x^(1/2) + 1/2x^(text(-)1/2) = 3sqrt(x) + 1/(2sqrt(x))`

In het voorbeeld `f'(x) = 2sqrt(x) + (2x+1)/(2sqrt(x)) = 2sqrt(x) + (2x)/(2sqrt(x)) + 1/(2sqrt(x)) = 3sqrt(x) + 1/(2sqrt(x))`

c

`f'(1) = 3 + 1/2 = 3,5` dus raaklijn `y = 3,5x+b` .

`f(1) = 3*sqrt(1) = 3` dus raaklijn `3 = 3,5*1 + b` en `b = text(-)0,5` .

De raaklijn heeft vergelijking `y = 3,5x - 0,5` .

Opgave 6
a

`f'(x) = 2x*sqrt(x) + (x^2+1)*1/(2sqrt(x)) = 2xsqrt(x) + (x^2+1)/(2sqrt(x))`

a

`K(p) = (1+3p)/(p^2) = (1+3p)*p^(text(-)2)`

`K'(p) = 3*p^(text(-)2) + (1+3p)*text(-)2p^(text(-)3) = 3/(p^2) - (2+6p)/(p^3) = (3p -2 - 6p)/(p^3) = (text(-)3p - 2)/(p^3)`

Opgave 7

`f(x)=2x* (3x+4) ^ (1/2)`

`f′(x)=2 * (3x+4) ^ (1/2) +2x*1/2 (3x+4) ^ (text(-)1/2) *3`

Omdat je hier alleen `x=0` moet invullen, is verder herschrijven niet nodig: `f′(x)=4` .

De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek in `(0, 0)` is: `y=4x` .

Opgave 8
a

`f'(x)=(3x^2*(1+x^4)+x^3*4x^3)/((1+x^4)^2)=(3 x^2-x^6) /(1 +x^4) ^2`

`f'(x)=0`

`3x^2-x^6=0`

`x=0 vv x=±root4 (3 )≈±1,32` (de noemer wordt bij die waarden niet `0` )

Uit de grafiek of met behulp van een tekenschema vind je max. `f(1,32 )≈0,57` en min. `f(text(-)1,32 )≈text(-)0,57` .

b

`f'(1)=0,5` en `f(1)=0,5`

`y=0,5x`

Opgave 9
a

Het is niet elke keer nodig om de productregel te gebruiken. Soms kun je bijvoorbeeld gemakkelijk haakjes wegwerken.

`f(x)=(x^3+6)(4x^2-5x)=4x^5-5x^4+24x^2-30x`

`f′(x)=20 x^4-20 x^3+48 x-30`

b

`g'(x)=text(-)sqrt(x)+(10-x)*1/(2sqrt(x))=text(-)sqrt(x)+5/sqrt(x)-x/(2sqrt(x))=5/sqrt(x)-3/2sqrt(x)`

c

`h'(x)=3*(x+5)^4+3x*4(x+5)^3=3(x+5)^4+12x(x+5)^3`

d

`j'(x)=sqrt(5+2x)+x*(2)/(2sqrt(5 + 2x))=sqrt(5+x^2)+(2x)/(sqrt(5+2x))`

e

`k'(x)=1-(2)/(2sqrt(5+2x))=1-1/(sqrt(5+2x))`

Opgave 10
a

`f(x)=x*sqrt(8-x^2)=0` geeft `x=0 vv 8-x^2=0` ofwel `x=0 vv x=text(-)sqrt(8) vv x=sqrt(8)` .

b

`f'(x) = sqrt(8 -x^2)-(x^2)/ (sqrt(8 -x^2)) =0` geeft `sqrt(8 -x^2) = (x^2)/(sqrt(8 -x^2))` .
Hieruit volgt `8 - x^2 = x^2` en dus `x = +-2` .

De extremen zijn min. `f(text(-)2 )=text(-)4` en max. `f(2 )=4` .
Dus `text(B)_f=[text(-)4 , 4]` .

c

`f'(0 )=sqrt(8 )`

`y=sqrt(8)x`

Opgave 11
a

`f'(x)= (1*(x-3) - 1*x)/((x-3)^2) = (text(-)3)/((x-3)^2)`

b

`g'(x)= (0*(x^2 -4x + 5) - 1*(2 x-4)) /((x^2-4 x+5)^2) = (text(-)2 x+4) /((x^2-4 x+5)^2)`

c

`h(x)=2x^2-10x+60+120x^(text(-)1)`

`h'(x)=4x-10-120/x^2`

d

`j'(x)=(2(x^2-10)-2x*2x)/(x^2-10)^2=(text(-)2x^2-20)/(x^2-10)^2`

e

`k(x)=text(-)4(1-3x^2)^(text(-)1)`

`k'(x)= (text(-)24 x) /(1 -3 x^2) ^2`

f

`l'(x)=200 -2000/x^2`

Opgave 12
a

`f'(x)=(3(x^2+2)-3x*2x)/(x^2+2)^2=(text(-)3x^2+6)/(x^2+2)^2`

`f'(x)=0` geeft `text(-)3x^2+6=0` en dus `x=text(-)sqrt(2) vv x=sqrt(2)`

Uit de grafiek of met behulp van een tekenschema vind je min. `f(text(-)sqrt(2))=text(-)3/4sqrt(2)` en max. `f(sqrt(2))=3/4sqrt(2)` .

b

`f'(1)=1/3` en `f(1)=1`

`y=1/3x+2/3`

Opgave 13
a

De breedte is `x` en de lengte `4x` .

Stel de breedte is `x` cm, dan is de lengte `4 x` cm. En dan is `4 x^2h=1000` dus `h=250/x^2` .
Hieruit volgt voor de lengte `L` van het lint: `L(x)=10 x+1000/x^2` .

b

`L'(x)=10 -2000/x^3=0` geeft `x^3=200` en dus `x≈5,8` cm.
Met behulp van de grafiek van `L` of een tekenschema van `L'` zie je dat `L` een minimum heeft voor `x≈5,8` . De afmetingen van het doosje zijn dan: `5,8 *23,4 *7,3` (in cm).

Opgave A1Overstroming Itteren 1993
Overstroming Itteren 1993
a

Zie figuur.

b
`H(t)` `=` `(4t)/(t^2+4)+4`
`H’(t)` `=` `(4(t^2+4)-4t*2t)/((t^2+4)^2)`

`=` `(4t^2+16-8t^2)/((t^2+4)^2)`

`=` `(-4t^2+16)/((t^2+4)^2)`
c

`H’(t)=0 rarr`

`(text(-)4t^2+16)/((t^2+4)^2)` `=` `0`
`text(-)4t^2+16` `=` `0`
`text(-)4t^2` `=` `-16`
`t^2` `=` `4`
`t` `=` `2vvt=text(-)2` (voldoet niet)
d

`2,5` dagen

e

Kim is niet zo pienter als ze lijkt. Kim gaat er namelijk vanuit dat het een lineaire groei is vanaf `t=0` , maar het gaat om het punt `t=1` .

Opgave A2Literblik
Literblik
a

`V = pi r^2 h = 1000` cm3 geeft deze formule.

b

`A(r) = 2000/r + 2pi r^2`

c

`A'(r) = text(-) 2000/(r^2) + 4pi r = 0` geeft `r ~~ 5,4` cm.

Opgave T1
a

`f'(x)=6 (1 + 2x) ^3 + 36x (1 + 2x) ^2`

b

`H'(t)=sqrt(1 -t^2)-t^2/ (sqrt(1 -t^2))`

Opgave T2
a

`f'(x)=7/((1 -x) ^2)`

b

`H'(t)= (text(-)2t)/((1+t^2)^2)`

Opgave T3
a

`f(x)= (10 -5 x^2) /((0,5 x^2+1 ) ^2)=0` geeft `x=±sqrt(2 )` .
Met behulp van de grafiek vind je: min. `f(text(-) sqrt(2 ))=text(-)5 sqrt(2 )` en max. `f(sqrt(2 ))=5 sqrt(2 )` .

b

Die raaklijn zit bij `x=0` (zie grafiek) en `f'(0 )=10` .

verder | terug