Differentiëren > De product- en de quotiëntregel
123456De product- en de quotiëntregel

Toepassen

Opgave A1Overstroming Itteren 1993
Overstroming Itteren 1993

In het najaar van 1993 zijn door de hoge waterstand in de Maas grote delen van Limburg overstroomd. Hoewel de burgemeester van het plaatsje Itteren de bevolking goed op de hoogte hield over de hoogte van het water (en over de verandering van de hoogte) was men zeer bevreesd. Achteraf blijkt het waterniveau als volgt beschreven te kunnen worden:

`H(t)=(4t)/(t^2+4)+2`

Hierin is:

  • `t` de tijd in in dagen

  • `H` de waterstand in meters

a

Probeer eens globaal de grafiek te schetsen (voor `t ge 0` ). Bereken daartoe `H` voor `t=0` en voor `t rarr oo` en gebruik het beeld bij het zien van de stijgende en dalende waterhoogte.

b

Laat zien dat geldt: `H'(t)=(text(-)4t^2+16)/((t^2+4)^2)` .

c

Met de uitdrukking bij b kun je de maximale waterhoogte berekenen. Doe dat eens. Klopt dit met jouw grafiek?

d

De dijken bij Itteren zijn `4` m hoog. Op `t=1` zegt de burgemeester: "Als de stijgsnelheid van het water blijft zoals die nu is, dan overstromen onze dijken over ..... dagen na heden."
Bereken wat er op ..... moet staan.

e

Kim (zeer goed in wiskunde) schrijft:
`t=1 rarr H=2,8` m
`t=0 rarr H=2` m
Dus stijging: `0,8` m/dag.
`(1,2)/(0,8)~~1,5` dag.
Ben je het hiermee eens? Leg uit.

Opgave A2Zuigerbeweging in motorcilinder
Zuigerbeweging in motorcilinder

Van de beweging van de zuiger in een cilinder van een motor is in bijgaande figuur de plaats-tijdgrafiek getekend.

Op `t=0` begint de zuiger in de hoogste stand. Er geldt:

`y(t)=40*cos((2pi)/12*t)`

Hierin is:

  • `y` de afstand tot de evenwichtsstand in mm

  • `t` de tijd in ms

Voor de snelheid van de zuiger geldt:

`(text(d)y)/(text(d)t)=y'(t)=text(-)(80*pi)/12*sin((2pi)/12*t)`

Hierin is:

  • `y'(t)` de zuigersnelheid in mm/ms `=` m/s

  • `t` de tijd in ms

a

Op welke tijdstippen is de snelheid maximaal? Bereken de maximale snelheden.

b

Bereken de snelheid van de zuiger op het moment dat de krukas een hoek van `30` °C maakt met de evenwichtsstand.

Opgave A3Literblik
Literblik

Een blikfabriek maakt onder andere cilindervormige blikken voor de conservenindustrie. Er is veel vraag naar blikken met een inhoud van `1` liter. Voor de fabrikant is het belangrijk dat daar zo min mogelijk blik voor nodig is, dan blijven zijn kosten laag.

Voor het volume `V` van zo'n blik geldt `V = pi r^2 h` .
Voor de oppervlakte aan blik geldt `A = 2pi r^2 + 2pi rh` .

a

Neem alle afmetingen in cm en laat zien, dat `h = 1000/(pi r^2)`

b

Stel een formule op voor de blikoppervlakte `A` als functie van `r`

c

Bereken voor welke waarde van `r` de blikoppervlakte minimaal is.

verder | terug