Differentiëren > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Toepassen

Opgave A1File
File

Als in een min of meer constante stroom auto's met ongeveer dezelfde snelheid wordt geremd, kan er een file ontstaan.

Stel je nu voor dat door werkzaamheden een rijstrook op de snelweg is afgesloten. Bij het invoegen van auto's naar één rijstrook moet vaak onhandig worden gemanoeuvreerd, zodat het verkeer moet afremmen of zelfs stil moet staan. Dit is het moment dat een file ontstaat. Zo'n file is niet nodig als iedereen tijdig de juiste doorstroomsnelheid kiest. Daarbij gaat het erom dat zoveel mogelijk auto's per tijdseenheid de wegversmalling passeren. Neem aan dat alle auto's `4` m lang zijn en hun onderlinge afstand precies de remweg `R` (in meter) is. Deze remweg hangt af van de snelheid `v` (in km/h).
Er geldt bij benadering: `R=3/4* (v/10)^2` .
De verkeersdienst zet een teller halverwege de wegversmalling die meet hoeveel auto's er per minuut passeren. Stel nu een formule op voor het aantal auto's dat per minuut de teller passeert.

Bereken met behulp van differentiëren bij welke snelheid zoveel mogelijk auto's de teller passeren.

Opgave A2Warmtebalans
Warmtebalans

De temperatuur van een gekoeld pakje of blikje frisdrank stijgt op een zonnig strand snel. Dit heeft verschillende oorzaken. We beperken ons in deze opgave tot de oppervlakte en het volume van de verpakking. Als een verpakking bij dezelfde inhoud een grotere oppervlakte heeft, zal de frisdrank erin sneller opwarmen. Hiervoor is de warmte-uitwisselingsfactor `F` van belang.
Er geldt: `F=A/V` waarbij `A` de totale oppervlakte van de verpakking is in cm2 en `V` het volume in cm3.
We bekijken een balkvormige en een cilindervormige verpakking van frisdrank. In de figuur zijn tevens de afmetingen in cm aangegeven.
Voor de oppervlakte `A` van de cilinder geldt `A=2 πr^2+2 πrh` , waarbij `h` de hoogte is en `r` de straal van het grondvlak.

In beide verpakkingen gaat vrijwel dezelfde hoeveelheid frisdrank. De warmte-uitwisselingsfactor `F` is verschillend.

a

Onderzoek welke verpakking de kleinste `F` -waarde heeft.

Voor een groot koffiezetapparaat moet een cilindervormige tank worden ontworpen met een inhoud van `8` liter (1 liter = `1000` cm3). Noem de straal van het grondvlak van deze tank `r` en de hoogte van deze tank `h` ( `r` en `h` in cm).
De hoogte `h` van de tank kun je uitdrukken in de straal `r` . Er geldt `h=8000/ (πr^2)` . Een eis die men aan het ontwerp van het koffiezetapparaat stelt, is dat de hoogte `h` tussen `20` cm en `40` cm ligt.

b

Bereken welke waarden voor de straal `r` dan zijn toegestaan. Rond de getallen in je antwoord af op één decimaal.

In plaats van grenzen aan de hoogte te stellen zou men ook de volgende eis kunnen stellen:
"De afmetingen van de tank moeten zodanig zijn dat de koffie er zo lang mogelijk warm in blijft. Dat wordt bereikt als de warmte-uitwisselingsfactor F van de tank zo klein mogelijk is."
Voor de warmte-uitwisselingsfactor van een cilindervormige tank met een inhoud van `8` liter heeft men de formule `F=2/r+ (πr^2) /4000` gevonden.

c

Bereken met behulp van differentiëren de straal van een tank die aan deze eis voldoet. Rond de getallen in je antwoord af op één decimaal.

verder | terug