Differentiëren > TotaalbeeldToepassen
Het energieverbruik van een vis tijdens een zwemtochtje in stilstaand water is recht evenredig met de tijd t en met de derde macht van zijn snelheid door het water:
`E=c*v^3*t`
Hierin is:
-
`E` het energieverbruik in J (Joule),
-
`v` de snelheid van de vis ten opzichte van het water in km/h,
-
`t` de tijd in uren,
-
`c` de evenredigheidsconstante is.
Neem aan dat `c=0,15` . Bereken het energieverbruik van een vis die in stilstaand water een afstand van `5` km aflegt met een snelheid van `2` km/h.
Toon aan dat het energieverbruik per afgelegde kilometer ten opzichte van de oever van een stroomopwaarts zwemmende vis gelijk is aan:
`U=c*v^3/ (v-s)`
als de stroomsnelheid van het water in km/h is.
Neem weer aan dat `c=0,15` . Bereken het energieverbruik van een vis die in een rivier stroomopwaarts een afstand van `5` km (ten opzichte van de oever) aflegt met een snelheid van `3,5` km/h ten opzichte van het water dat met een snelheid van `2` km/h stroomt.
Verklaar waarom zalmen de rivier op trekken met een gemiddelde snelheid ten opzichte van het water van `1,5` maal de stroomsnelheid, door aan te tonen dat hun energieverbruik dan minimaal is.
De temperatuur van een gekoeld pakje of blikje frisdrank stijgt op een zonnig strand
snel. Dit heeft verschillende oorzaken. We beperken ons in deze opgave tot de oppervlakte
en het volume van de verpakking. Als een verpakking bij dezelfde inhoud een grotere
oppervlakte heeft, zal de frisdrank erin sneller opwarmen. Hiervoor is de warmte-uitwisselingsfactor
`F`
van belang.
Er geldt:
`F=A/V`
waarbij
`A`
de totale oppervlakte van de verpakking is in cm2 en
`V`
het volume in cm3.
We bekijken een balkvormige en een cilindervormige verpakking van frisdrank. In de
figuur zijn tevens de afmetingen in cm aangegeven.
Voor de oppervlakte
`A`
van de cilinder geldt
`A=2 πr^2+2 πrh`
, waarbij
`h`
de hoogte is en
`r`
de straal van het grondvlak.
In beide verpakkingen gaat vrijwel dezelfde hoeveelheid frisdrank. De warmte-uitwisselingsfactor `F` is verschillend.
Onderzoek welke verpakking de kleinste `F` -waarde heeft.
Voor een groot koffiezetapparaat moet een cilindervormige tank worden ontworpen met
een inhoud van
`8`
liter (1 liter =
`1000`
cm3). Noem de straal van het grondvlak van deze tank
`r`
en de hoogte van deze tank
`h`
(
`r`
en
`h`
in cm).
De hoogte
`h`
van de tank kun je uitdrukken in de straal
`r`
. Er geldt
`h=8000/ (πr^2)`
. Een eis die men aan het ontwerp van het koffiezetapparaat stelt, is dat de hoogte
`h`
tussen
`20`
cm en
`40`
cm ligt.
Bereken welke waarden voor de straal `r` dan zijn toegestaan. Rond de getallen in je antwoord af op één decimaal.
In plaats van grenzen aan de hoogte te stellen zou men ook de volgende eis kunnen
stellen:
"De afmetingen van de tank moeten zodanig zijn dat de koffie er zo lang mogelijk warm
in blijft. Dat wordt bereikt als de warmte-uitwisselingsfactor F van de tank zo klein
mogelijk is."
Voor de warmte-uitwisselingsfactor van een cilindervormige tank met een inhoud van
`8`
liter heeft men de formule
`F=2/r+ (πr^2) /4000`
gevonden.
Bereken met behulp van differentiëren de straal van een tank die aan deze eis voldoet. Rond de getallen in je antwoord af op één decimaal.