Bij exponentiële groei gaat het om functies van de vorm
`f(x)=b*g^x`
. Neem je
`b=1`
, dan hebben deze functies de vorm
`f(x)=g^x`
. In de figuur zie je zo'n functie
`f`
met de bijbehorende (blauwe) hellingsgrafiek. De helling van de grafiek hangt af
van de grootte van
`g`
. Neem je
`x=0`
, dan wordt
`f'(0)`
groter als
`g`
groter wordt.
De helling is voor elke
`x`
recht evenredig is met
`f(x)`
, dus
`f'(x)=c*g^x`
.
En
`c = f'(0)`
.
Voor
`g=2`
geldt:
`c = f'(0) ≈ 0,69`
.
Dus als
`f(x)=2^x`
dan is
`f'(x)≈0,69 *2^x`
.
Voor
`g=3`
geldt:
`c = f'(0) ≈ 1,10`
.
Dus als
`f(x)=3^x`
dan is
`f'(x)≈1,10 *3^x`
.
Er lijkt een waarde van
`g`
te bestaan (tussen
`2`
en
`3`
) waarvoor geldt dat
`c=1`
. Ga na, dat dit bij
`g≈2,7`
het geval is. Het getal waarbij dit PRECIES het geval is, is net zo'n bijzonder getal
als
`π`
. Dit getal heeft de letter
`text(e)`
gekregen:
`text(e)≈2,71828...`
Als
`g = text(e)`
dan vallen de functie en de afgeleide samen, ze zijn dan gelijk.
Dus als `f(x)= text(e) ^x` , dan is `f'(x)= text(e) ^x` .
Met
`f(x)= text(e) ^x`
reken je net als met alle exponentiële functies.
Er hoort dus ook een logaritme met grondtal
`text(e)`
bij...
Lees eerst de
In het algemeen geldt: Als
`f(x) = g^x`
dan is
`f'(x) = c * g^x`
.
Bekijk de grafiek van
`f(x) = 3^x`
en zijn afgeleide.
Laat zien dat
`f'(x) ~~ 1,10 * 3^x`
, dus
`c ~~ 1,10`
.
Bekijk de grafiek van `f(x) = 2,5^x` en (een benadering van) zijn afgeleide. Bepaal nu zelf de bijpassende waarde van `c` .
Doe ditzelfde ook voor `f(x) = 2,7^x` en `f(x) = 2,8^x` .
Er is een grondtal `g` waarvoor `c = 1` . Hoe groot is dit getal ongeveer?
Als het grondtal van de functie `f(x) = g^x` gelijk is aan `text(e) ~~ 2,7182...` dan is de afgeleide gelijk aan de functie zelf. Dus:
Als `f(x) = text(e)^x` dan is `f'(x) = text(e)^x` .
Maak de grafiek van `f(x) = text(e)^x` .
Hoe groot is de helling van deze grafiek in `(0, 1)` ?
Waar in de grafiek vind je het getal `text(e)` ?
Welk hellingsgetal heeft de grafiek van `f(x) = text(e)^x` in het punt `(1, text(e))` ? Stel een vergelijking op van de raaklijn in dat punt.
Bekijk de grafiek van `f(x) = text(e)^x` .
Welke asymptoot heeft die grafiek?
Los met behulp van de grafiek op
`text(e)^x = 10`
.
Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
De exacte oplossing van `text(e)^x = 10` is gelijk aan `x=\ ^text(e) log(10 )` .
In plaats van `x=\ ^text(e) log(... )` wordt in de wiskunde `ln(...)` gebruikt. Je rekenmachine heeft een speciale toets voor `ln(...)` .
Laat zien dat `ln(10)` dezelfde waarde voor `x` oplevert als bij b.
Los nu zowel exact als in drie decimalen nauwkeurig op: `text(e)^x = 20` .